Calcule o comprimento das curvas
r(t)=a(1-cos t) i+a(t-sen t) j com 0 <= t <= 2 pi, a>0.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva paramétrica
r(t)=al(1-cos tr),i+al(t-sin tr),j
para 0<= t<=2pi e a>0.
O conteúdo é o cálculo de comprimento de arco de uma curva no plano, usando a fórmula
L=integralt1^t2raizl(dxdtr)^2+l(dydtr)^2,dt

Passo 2

Vamos achar as derivadas das componentes. Se
x(t)=al(1-cos tr), y(t)=al(t-sin tr),
então
dxdt=asin t, dydt=al(1-cos tr)

Passo 3

O integrando fica
raizl(asin tr)^2+l(a(1-cos t)r)^2 =araizsin^2t+(1-cos t)^2 =araiz2-2cos t
Usando a identidade
2-2cos t=4sin^2 t2,
temos
raiz2-2cos t=2l|sin t2r|
Como em 0<= t<=2pi vale sin t2>=0, o integrando é
2asin t2

Passo 4

Agora integramos de 0 a 2pi:
L=integral0^2pi2asin t2,dt =2al[-2cos t2r]0^2pi =-4al(cospi-cos0r) =-4al(-1-1r) =8a

Resposta

L=8a

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