Calcule o comprimento das curvas
r(t)=e^t cos t i+e^t sen t j com 0 <= t <= 2

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
vec r(t)=e^tcos t,vec i + e^tsin t,vec j
no intervalo 0<= t<= 2.
O conteúdo da matéria é comprimento de arco de curva definida por parâmetro, cuja fórmula é
L = integrala^b l|vec r,'(t)r|,dt

Passo 2

Calculamos a derivada de vec r(t) componente a componente.
vec r,'(t) =ddtl(e^tcos tr),vec i +ddtl(e^tsin tr),vec j =e^t(cos t - sin t),vec i + e^t(sin t + cos t),vec j

Passo 3

Agora obtemos o módulo de vec r,'(t).
l|vec r,'(t)r| =raizl[e^t(cos t - sin t)r]^2+l[e^t(sin t + cos t)r]^2 =e^traiz(cos t - sin t)^2+(sin t + cos t)^2
Dentro da raiz temos
(cos t - sin t)^2+(sin t + cos t)^2 =cos^2t -2sin tcos t +sin^2t +sin^2t +2sin tcos t +cos^2t =2(sin^2t+cos^2t)=2
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l|vec r,'(t)r|=raiz2,e^t

Passo 4

Substituímos no integral de comprimento:
L=integral0^2|vec r,'(t)|,dt =integral0^2raiz2,e^t,dt =raiz2integral0^2e^t,dt =raiz2l[e^tr]0^2 =raiz2,(e^2-1)

Resposta

L = raiz2,(e^2-1)

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