Resolva as seguintes e.d.o de segunda a ordem através de uma substituição que permita reduzir a ordem da equação:
.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem
(1+x^2)y''+2x,y'=2x^-3
por meio de uma substituição que reduza a ordem. O conteúdo principal aqui é reconhecer que o lado esquerdo é a derivada de um produto e, em seguida, integrar duas vezes: primeiro para obter y' e depois para obter y.

Passo 2

Observe que
ddxl((1+x^2),y'r) =(1+x^2)y''+2x,y'
Logo a equação fica
ddxl((1+x^2),y'r)=2x^-3

Passo 3

Integramos em relação a x:
(1+x^2),y'=integral 2x^-3,dx=-x^-2+C1
Portanto
y'=-x^-2+C11+x^2

Passo 4

Agora integramos para achar y:
y=integral-x^-2+C11+x^2,dx =integral-x^-21+x^2,dx +integralC11+x^2,dx
Separando a primeira integral por frações parciais, nota-se que
-1x^2(1+x^2) =-1x^2+11+x^2,
logo
integral-x^-21+x^2,dx =integrall(-1x^2+11+x^2r)dx =1x+arctan x
E
integralC11+x^2,dx =C1,arctan x
Somando e adicionando a constante C2, vem
y=1x+l(C1+1r)arctan x+C2

Passo 5

Basta renomear as constantes arbitrárias como A=C1+1 e B=C2.

Resposta

y(x)=1x+A,arctan x+B,
com A e B constantes arbitrárias.

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