Calcule a integral de superfície I=integral duplaS x z d S onde a superfície é parte do plano x+y+z=1 que fica no primeiro octante.
a) (1.0) utilizando a fórmula implícita e
S=(x, y, z) in R^3 mid x+y+z=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
I = integral duplaS x,z,dS
sendo S a parte do plano
x + y + z = 1
no primeiro octante ( x,y,z>=0).
O conteúdo aqui é integral de superfície de uma função escalar sobre uma superfície dada de forma implícita. Vamos usar a fórmula implícita para projetar em xy.

Passo 2

Definimos a função
F(x,y,z) = x + y + z - 1 = 0
cujo gradiente é
nabla F = (1,1,1)
Para projetar em (x,y), a fórmula dá
dS = lvertnabla Frvertl|partial F/partial zr|,dx,dy = raiz1^2+1^2+1^21,dx,dy = raiz3,dx,dy
Além disso, na projeção temos
z = 1 - x - y,
e a região de projeção é
D = (x,y)mid x>=0,;y>=0,;x+y<=1

Passo 3

Substituindo z=1-x-y e dS=raiz3,dx,dy, a integral vira
I = integral duplaD x,(1 - x - y),raiz3;dx,dy = raiz3;integral duplaD x,(1 - x - y);dx,dy

Passo 4

Calculamos primeiro
integral duplaD x,(1 - x - y);dx,dy = integral0^1!l[integral0^,1-xx,(1 - x - y),dyr]dx
Internamente,
integral0^1-x(1-x-y),dy = l[(1-x)y-tfracy^22r]0^1-x = (1-x)^22,
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integral duplaD x,(1 - x - y);dx,dy = integral0^1 x,(1-x)^22,dx = 12integral0^1(x-2x^2+x^3),dx = 12l[tfracx^22-tfrac2x^33+tfracx^44r]0^1 = 124
Portanto
I = raiz3;124 = raiz324

Resposta

raiz324

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