Calcule a integral de superfície onde a superfície é parte do plano que fica no primeiro octante.
a) (1.0) utilizando a fórmula implícita e .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
sendo a parte do plano
no primeiro octante ().
O conteúdo aqui é integral de superfície de uma função escalar sobre uma superfície dada de forma implícita. Vamos usar a fórmula implícita para projetar em .
Passo 2
Definimos a função
cujo gradiente é
Para projetar em , a fórmula dá
Além disso, na projeção temos
z = 1 - x - y,
e a região de projeção é
D = (x,y)mid x>=0,;y>=0,;x+y<=1
Passo 3
Substituindo z=1-x-y e dS=raiz3,dx,dy, a integral vira
I = integral duplaD x,(1 - x - y),raiz3;dx,dy = raiz3;integral duplaD x,(1 - x - y);dx,dy
Passo 4
Calculamos primeiro
integral duplaD x,(1 - x - y);dx,dy = integral0^1!l[integral0^,1-xx,(1 - x - y),dyr]dx