Calcule o comprimento das curvas
r(t)=sen t i+t j+(1-cos t) k com 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
vec r(t)=sin t,vec i + t,vec j + (1-cos t),vec k
no intervalo 0<= t<= 2pi e pede o comprimento dessa curva.
Para isso vamos usar a fórmula de comprimento de arco de uma curva paramétrica:
L = integrala^b l|vec r'(t)r|,dt

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada vetor vec r'(t).
Como
vec r(t)=l(sin t,;t,;1-cos tr),
temos
vec r'(t)=l(cos t,;1,;sin tr) =cos t,vec i + vec j + sin t,vec k

Passo 3

Em seguida, calculamos a norma de vec r'(t):
l|vec r'(t)r| =raiz(cos t)^2 + 1^2 + (sin t)^2 =raizcos^2 t + sin^2 t + 1 =raiz1 + 1 =raiz2

Passo 4

Agora substituímos na integral de comprimento de arco:
L = integral0^2pi raiz2,dt =raiz2,l[tr]0^2pi =raiz2,(2pi - 0) =2piraiz2

Resposta

O comprimento da curva é
boxed2piraiz2

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