Calcule a integral de superfície I=integral duplaS x z d S onde a superfície é parte do plano x+y+z=1 uqe fica no primeiro octante.
a) (1.0)utlizando a fórmula paramétrica S(u, v)=(u, v, 1-u-v).

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de superfície
integral duplaS x,z ,dS,
onde S é a parte do plano x+y+z=1 no primeiro octante. O conteúdo aqui é parametrização de superfícies planas e cálculo de integrais de superfície de função escalar.

Passo 2

Parametrizamos S por
r(u,v) = (u,,v,,1 - u - v),
com domínio
D = (u,v)mid u>=0,;v>=0,;u+v<=1

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes
ru = (1,0,-1), rv = (0,1,-1),
e o produto vetorial
ru times rv = (1,1,1),
cuja norma é raiz3. Logo, dS = raiz3,du,dv.

Passo 4

Em coordenadas (u,v) temos x = u e z = 1 - u - v, de modo que
I = integral duplaD u,(1 - u - v),raiz3,dv,du

Passo 5

Integramos primeiro em v:
integral0^,1-uu(1 - u - v),dv = uintegral0^,1-u(1 - u - v),dv = tfrac12,u,(1-u)^2

Passo 6

Agora integramos em u e multiplicamos por raiz3:
I = raiz3integral0^1tfrac12,u,(1-u)^2,du = raiz32,cdot112 = raiz324

Resposta

raiz324

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