Utilize um software* computacional para graficar o campo de direções das equações diferenciais a seguir, encontre a solução geral em cada caso e grafique também algumas curvas integrais sobre o campo:
*Pode usar o Desmos para graficar os Campos de direções online no link aqui
y^{\prime}(x)=-y
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o campo de direções da equação diferencial
em um software como o Desmos, encontrar a solução geral e sobrepor algumas curvas integrais (família de soluções) nesse mesmo campo. O conteúdo usado será: equação diferencial de ª ordem autônoma, separação de variáveis e interpretação geométrica do campo de direções.
Passo 2
Para traçar o campo de direções, note que em cada ponto do plano a inclinação da reta tangente é
Isso mostra que o campo não depende de , apenas de .
Se , então : as setas apontam para baixo.
Se , então : as setas apontam para cima.
No Desmos, você pode usar o recurso de slope field com a expressão m(x,y)\(=\)-y para visualizar essas pequenas setas em uma grade.
Passo 3
Para achar a solução geral, usamos separação de variáveis. Começamos de
Reescrevendo,
Passo 4
Integramos ambos os lados:
onde C1 é constante de integração. Exponenciando,
l|yr| = e^-x + C1 = e^C1e^-x
Chamando C = pm e^C1, obtemos a solução geral
y(x) = C,e^-x
Passo 5
Para sobrepor curvas integrais no mesmo campo de direções, escolha valores de C e trace as funções
y(x) = C,e^-x
Por exemplo, em Desmos adicione as curvas
y(x) = e^-x, y(x) = 2e^-x, y(x) = -e^-x, y(x)=0
para visualizar como elas seguem exatamente o sentido das setas do campo.