Utilize um software* computacional para graficar o campo de direções das equações diferenciais a seguir, encontre a solução geral em cada caso e grafique também algumas curvas integrais sobre o campo:
*Pode usar o Desmos para graficar os Campos de direções online no link aqui
y^{\prime}(x)=-y

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o campo de direções da equação diferencial
y'(x) = -y
em um software como o Desmos, encontrar a solução geral e sobrepor algumas curvas integrais (família de soluções) nesse mesmo campo. O conteúdo usado será: equação diferencial de 1ª ordem autônoma, separação de variáveis e interpretação geométrica do campo de direções.

Passo 2

Para traçar o campo de direções, note que em cada ponto do plano a inclinação da reta tangente é
Isso mostra que o campo não depende de , apenas de .
  • Se , então : as setas apontam para baixo.
  • Se , então : as setas apontam para cima.
    No Desmos, você pode usar o recurso de slope field com a expressão m(x,y)\(=\)-y para visualizar essas pequenas setas em uma grade.

Passo 3

Para achar a solução geral, usamos separação de variáveis. Começamos de
dydx = -y
Reescrevendo,
1y,dy = -,dx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral 1y,dy = integral -,dx
lnl|yr| = -x + C1,
onde C1 é constante de integração. Exponenciando,
l|yr| = e^-x + C1 = e^C1e^-x
Chamando C = pm e^C1, obtemos a solução geral
y(x) = C,e^-x

Passo 5

Para sobrepor curvas integrais no mesmo campo de direções, escolha valores de C e trace as funções
y(x) = C,e^-x
Por exemplo, em Desmos adicione as curvas
y(x) = e^-x, y(x) = 2e^-x, y(x) = -e^-x, y(x)=0
para visualizar como elas seguem exatamente o sentido das setas do campo.

Resposta

A solução geral da equação diferencial y'=-y é
y(x) = C,e^-x,
onde CinR.

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