Calcule o comprimento das curvas
r(t)=a(senh t-t) i+a(1-cosh t) j com 0 <= t <= T, a>0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento da curva dada pela função vetorial r(t) = a(sinh t - t) i + a(1 - cosh t) j para 0 <= t <= T, onde a > 0. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de comprimento de curvas paramétricas. Para isso, vamos precisar saber derivar as componentes da função vetorial e aplicar a fórmula do comprimento de arco.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o comprimento de uma curva parametrizada. Se temos r(t) = x(t) i + y(t) j, o comprimento L da curva de t = a até t = b é dado por:
L = integrala^b raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt

Passo 3

Agora, vamos identificar as funções x(t) e y(t) da nossa curva:
x(t) = a(sinh t - t)
y(t) = a(1 - cosh t)
Precisamos encontrar as derivadas dxdt e dydt .

Passo 4

Vamos derivar x(t):
dxdt = a(ddt(sinh t) - ddt(t)) = a(cosh t - 1)
Agora, derivamos y(t):
dydt = a(ddt(1) - ddt(cosh t)) = a(0 - sinh t) = -a sinh t

Passo 5

Vamos agora substituir essas derivadas na fórmula do comprimento:
L = integral0^T raiz(a(cosh t - 1))^2 + (-a sinh t)^2 , dt
Vamos simplificar dentro da raiz:
L = integral0^T raiza^2(cosh t - 1)^2 + a^2 (sinh t)^2 , dt
L = integral0^T a raiz(cosh t - 1)^2 + (sinh t)^2 , dt

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Sabemos que as identidades hiperbólicas nos dizem que:
cosh^2 t - sinh^2 t = 1
Mas queremos simplificar (cosh t - 1)^2 + (sinh t)^2. Vamos expandir:
(cosh t - 1)^2 + (sinh t)^2 = cosh^2 t - 2cosh t + 1 + sinh^2 t
Usando a identidade cosh^2 t - sinh^2 t = 1, substituímos:
= (1 + sinh^2 t) - 2cosh t + 1 + sinh^2 t = 2sinh^2 t - 2cosh t + 2
Mas isso não simplifica facilmente. Vamos tentar outra abordagem. Observe que:
(cosh t - 1)^2 + sinh^2 t = cosh^2 t - 2cosh t + 1 + sinh^2 t = (cosh^2 t + sinh^2 t) - 2cosh t + 1
Sabendo que cosh^2 t + sinh^2 t = 2cosh^2 t - 1:
= 2cosh^2 t - 1 - 2cosh t + 1 = 2cosh^2 t - 2cosh t = 2cosh t (cosh t - 1)
Então, a integral fica:
L = integral0^T a raiz2cosh t (cosh t - 1) , dt

Passo 7

Vamos tentar simplificar mais. Fatorando a raiz:
raiz2cosh t (cosh t - 1) = raiz2 raizcosh t (cosh t - 1)
Infelizmente, essa integral não tem uma expressão simples em termos de funções elementares. Portanto, a resposta final será expressa em termos da integral definida.

Resposta

O comprimento da curva é dado por:
L = a raiz2 integral0^T raizcosh t (cosh t - 1) , dt

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