Calcule o comprimento das curvas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento da curva dada pela função vetorial
para
, onde
. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de comprimento de curvas paramétricas. Para isso, vamos precisar saber derivar as componentes da função vetorial e aplicar a fórmula do comprimento de arco.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o comprimento de uma curva parametrizada. Se temos
, o comprimento
da curva de
até
é dado por:
Passo 3
Agora, vamos identificar as funções
e
da nossa curva:
Precisamos encontrar as derivadas
e
.
Passo 4
Vamos derivar
:
Agora, derivamos
:
Passo 5
Vamos agora substituir essas derivadas na fórmula do comprimento:
Vamos simplificar dentro da raiz:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Sabemos que as identidades hiperbólicas nos dizem que:
Mas queremos simplificar
. Vamos expandir:
Usando a identidade
, substituímos:
Mas isso não simplifica facilmente. Vamos tentar outra abordagem. Observe que:
Sabendo que
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos tentar simplificar mais. Fatorando a raiz:
Infelizmente, essa integral não tem uma expressão simples em termos de funções elementares. Portanto, a resposta final será expressa em termos da integral definida.
Resposta
O comprimento da curva é dado por: