Quais das seguintes funções f têm uma descontinuidade removível em a ? Se a descontinuidade for removivel, encontre uma função g que seja igual a f para x neq a e seja contínua em a.
f(x)=llbracket sen x rrbracket, a=pi

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=llbracket sin xrrbracket
e pede para verificar se há descontinuidade removível em a=pi. Lembrando que a descontinuidade é removível se existir
limxto pif(x)
finito e diferente de f(pi), de modo que possamos redefinir f(pi) para torná-la contínua.

Passo 2

Calculamos o valor de f em x=pi:
f(pi)=llbracket sinpirrbracket=llbracket 0rrbracket=0

Passo 3

Vamos ao limite pela esquerda. Quando xtopi^-, temos sin x>0 muito pequeno, logo
limxtopi^-f(x) =limxtopi^-llbracket sin xrrbracket =llbracketnúmero positivo muito pequenorrbracket =0 ú

Passo 4

Agora o limite pela direita. Para xtopi^+, sin x<0 muito pequeno, então
limxtopi^+f(x) =limxtopi^+llbracket sin xrrbracket =llbracketnúmero negativo muito pequenorrbracket =-1 ú

Passo 5

Como
limxtopi^-f(x)=0 e limxtopi^+f(x)=-1,
o limite limxtopif(x) não existe. Logo, a descontinuidade em a=pi não é removível, pois não há um valor que possa ser atribuído a f(pi) para igualar os dois limites laterais.

Resposta

A função f(x)=llbracket sin xrrbracket tem em a=pi uma descontinuidade do tipo salto, não removível. Portanto, não existe função g que coincida com f para xneqpi e seja contínua em pi.

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