Seja a parte do elipsoide que está acima do plano . O valor da integral é:
Escolha uma opção:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos que calcular a integral de superfície onde é a parte do elipsoide definido por que está acima do plano . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais em superfícies, especificamente parametrização de superfícies e cálculo de elementos de área. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a superfície . O elipsoide pode ser reescrito como , o que nos mostra que ele tem semi-eixos de comprimento , e nas direções , e respectivamente. Estamos interessados apenas na parte acima do plano , ou seja, onde .
Passo 3
Vamos parametrizar essa superfície. Uma forma comum de parametrizar um elipsoide é usar coordenadas esféricas adaptadas. Vamos definir:
Onde (já que estamos acima de ) e .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o elemento de área na parametrização. Para isso, calculamos os vetores derivados em relação a e :
O elemento de área é dado pelo módulo do produto vetorial desses dois vetores:
Observamos que a expressão depende de theta, mas após tentar integrar, percebemos que a integral fica complicada. Então, vamos tentar simplificar. Notamos que a função raiz12x^2+1 está presente, e isso sugere que uma mudança de variável ou simetria possa ser aplicada.
Como o integrando é simétrico em relação a theta, e a integral de cos^2theta sobre 0 a 2pi é pi, podemos simplificar a integral em theta: