Determine se r(t) é contínua em t=0. Explique seu raciocínio.
6.
r(t)=5 i-(raizt+1) j+e^2 t k

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função vetorial
r(t)=5,i-l(raizt+1r),j+e^2t,k
é contínua em t=0. O conteúdo envolvido é continuidade de função vetorial, que se estuda verificando a continuidade de cada componente escalar.

Passo 2

Escrevendo as componentes em forma de tupla, temos
r(t)=l(f1(t),,f2(t),,f3(t)r)com f1(t)=5,;f2(t)=-raizt+1,;f3(t)=e^2t
O domínio de r exige t+1>=0, ou seja tin[-1,infty), e 0 pertence a esse domínio.

Passo 3

A definição de continuidade em t=0 para r é
limtto0r(t)=r(0)
Como funções vetoriais são contínuas se, e somente se, cada componente é contínua, basta verificar essa propriedade para f1, f2 e f3.

Passo 4

Verificamos cada componente em t=0:
  1. f1(t)=5 é constante, logo contínua em todo lugar.
  2. f2(t)=-raizt+1 é composta de raizcdot e polinômio interno t+1, ambas contínuas em t=0.
  3. f3(t)=e^2t é exponencial, contínua em t=0.

Passo 5

Como todas as componentes são contínuas,
limtto0r(t) =l(5,,-raiz0+1,,e^2cdot0r) =(5,-1,1) =r(0)
Portanto, r(t) é contínua em t=0.

Resposta

Sim. A função r(t) é contínua em t=0 porque cada componente escalar é contínua em t=0 e limtto0r(t)=r(0).

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