Para a curva dada por r(t)=(sen^3(t), cos ^3(t), sen^2(t)), 0 <= t <= pi / 2, encontre:
a curvatura; e

Passo 1

O enunciado dá a curva
r(t)=l(sen^3t,;cos^3t,;sen^2tr), 0<= t<=pi/2,
e pede a curvatura kappa(t) (e presumivelmente a torsão tau(t)). Vamos usar as fórmulas do cálculo vetorial:
kappa(t)=| r'(t)times r''(t)|| r'(t)|^3, tau(t)=l( r'(t)times r''(t)r)cdot r'''(t)| r'(t)times r''(t)|^2

Passo 2

Calcular r'(t). Derivando coordenada a coordenada,
r'(t) =l(3sen^2tcos t,,-3cos^2tsen t,;2sen tcos tr)

Passo 3

Calcular r''(t). Derivando de novo,
r''(t) =l(3sen t,(2cos^2t-sen^2t),;3cos t,(2sen^2t-cos^2t),;2cos2tr)

Passo 4

Formar o produto vetorial e norma de r':
r'(t)times r''(t) =3sen^2tcos^2t,l(-2sen t,;2cos t,;3r), | r'(t)|=raiz13,sen tcos t
Logo
| r'(t)times r''(t)| =3sen^2tcos^2t,raiz13,

Passo 5

Aplicando
kappa(t) =| r'times r''|| r'|^3 =3sen^2tcos^2t,raiz13l(raiz13,sen tcos tr)^3 =313,sen tcos t,

Passo 6

Calcular r'''(t) e o produto escalar com r' times r''.
Após derivar uma vez mais e computar, obtém‐se
(r' times r'') cdot r''' = 18,sin^3 t cos^3 t, |r' times r''|^2 = 117,sin^4 t cos^4 t

Passo 7

Usando a definição,
tau(t) =18,sen^3tcos^3t117,sen^4tcos^4t =213,sen tcos t,

Resposta

kappa(t)=313,sen tcos t e tau(t)=213,sen tcos t

Exercícios relacionados