Calcule o comprimento das curvas.
x=12 t^2, y=19(6 t+9)^2 / 3

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x(t)=tfrac12,t^2, y(t)=tfrac19,(6t+9)^tfrac23
e pede o comprimento da curva. O conteúdo aqui é o comprimento de uma curva paramétrica, que se obtém pela fórmula
L=integralt1^t2raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2;dt
Para seguir em frente, precisamos saber os valores de t1 e t2.

Passo 2

Vamos obter as derivadas de x e y:
x'(t)=t, y'(t)=ddtl[tfrac19(6t+9)^2/3r] =tfrac19cdottfrac23(6t+9)^-1/3cdot6 =49,(6t+9)^-1/3
Logo o integrando fica
raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2 =raiz,t^2+1681,(6t+9)^-2/3,,,
e o comprimento genérico é
L=integralt1^t2 raiz,t^2+1681,(6t+9)^-2/3,;dt

Passo 3

Sem os valores numéricos de t1 e t2 não há como avaliar essa integral e, portanto, não é possível obter um valor concreto para o comprimento.

Resposta

Não é possível calcular o comprimento sem que sejam fornecidos os limites de integração t1 e t2.

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