Dada ache a taxa de variação de em na direção e sentido do vetor 2i-2j-k.

Passo 1

O enunciado pede a taxa de variação de
f(x,y,z)=6x^2+2xy-4y^2-2yz+2z^2
no ponto (2,-4,-2) na direção do vetor v=2i-2j-k.
Para isso, vamos usar que a derivada direcional de f na direção unitária u vale
Duf(p)=nabla f(p)cdot u

Passo 2

Calculamos o gradiente de f:
nabla f(x,y,z) =l(partial fpartial x,partial fpartial y,partial fpartial zr) =(12x+2y,;2x-8y-2z,;-2y+4z)

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em (2,-4,-2):
nabla f(2,-4,-2) =(12cdot2+2cdot(-4),;2cdot2-8cdot(-4)-2cdot(-2),;-2cdot(-4)+4cdot(-2)) =(16,;40,;0)

Passo 4

Precisamos da direção unitária u correspondente a v=(2,-2,-1). O módulo de v é
|v|=raiz2^2+(-2)^2+(-1)^2=raiz4+4+1=3,
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u=13(2,-2,-1)=l(23,-23,-13r)

Passo 5

Finalmente, a derivada direcional é
Duf(2,-4,-2) =nabla f(2,-4,-2)cdot u =(16,40,0)cdotl(23,-23,-13r) =32-80+03 =-16

Resposta

-16

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