a) Usando o polinômio de Taylor para a série binomial, obtenha uma expressão até a segunda ordem para ^3 raiz1+x.
b) Use a expressão dada para calcular ^3 raiz1.1.

Passo 1

O enunciado pede que a gente use o polinômio de Taylor de segunda ordem (que é equivalente à expansão binomial truncada) para a função
f(x) = (1+x)^1/3
em torno de x=0, e em seguida use essa aproximação para estimar raiz[3]1,1.

Passo 2

Vamos obter as derivadas de f necessárias para o polinômio de Taylor até a segunda ordem.
f(x) = (1+x)^1/3, f'(x) = tfrac13(1+x)^-2/3, f''(x) = -tfrac29(1+x)^-5/3
Em x=0 isso dá
f(0) = 1, f'(0) = tfrac13, f''(0) = -tfrac29

Passo 3

O polinômio de Taylor de ordem 2 centrado em 0 é
T2(x) = f(0) + f'(0),x + f''(0)2,x^2 = 1 + 13x - 19x^2

Passo 4

Para estimar raiz[3]1,1 usamos x=0,1 em T2:
T2(0,1) = 1 + 13cdot 0,1 - 19cdot(0,1)^2 = 1 + 0,03333ldots - 0,00111ldots = 1,03222ldots

Resposta

a) (1+x)^1/3approx 1 + tfrac13x - tfrac19x^2
b) raiz[3]1,1approx 1,03222

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