Dada f(x, y, z)=3 x^2+x y-2 y^2-y z+z^2 ache a taxa de variação de f(x, y, z) em (1,-2,-1) na direção e sentido do vetor 2i-2j-k. (Sol. DU f=-4 )

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=3x^2+x y-2y^2-y z+z^2
e pede a taxa de variação de f no ponto P=(1,-2,-1) na direção e sentido do vetor v=2i-2j-k.
Isso é uma derivada direcional, que se calcula como
Duf(P)=nabla f(P)cdotu,
onde u é o vetor unitário na direção de v.

Passo 2

Calcular o gradiente de f, ou seja, as derivadas parciais:
partial fpartial x=6x+y, partial fpartial y=x-4y-z, partial fpartial z=-y+2z
Logo,
nabla f(x,y,z)=(6x+y,;x-4y-z,;-y+2z)

Passo 3

Avaliar o gradiente em P=(1,-2,-1):
nabla f(1,-2,-1) =(6cdot1+(-2),;1-4(-2)-(-1),;-(-2)+2(-1)) =(4,;10,;0)

Passo 4

Normalizar o vetor v=(2,-2,-1). Primeiro o módulo:
|v|=raiz2^2+(-2)^2+(-1)^2=raiz9=3
Então o vetor unitário é
u=v|v|=l(tfrac23,-tfrac23,-tfrac13r)

Passo 5

Calcular a derivada direcional:
Duf(P) =nabla f(1,-2,-1)cdotu =(4,10,0)cdotl(tfrac23,-tfrac23,-tfrac13r) =8-20+03=-4

Resposta

-4

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