Calcule o comprimento das curvas:

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a curva gamma(t) = (t^2,,4t^2,,t-1) para tin[0,1]. O conteúdo é comprimento de curva paramétrica. Vamos precisar da fórmula
L = integrala^b |gamma'(t)|,dt
e calcular gamma'(t).

Passo 2

Primeiro calculemos a derivada de gamma(t). Derivando cada componente, obtemos
gamma'(t) = (2t,,8t,,1)

Passo 3

Em seguida calculamos a norma de gamma'(t). Isso dá
|gamma'(t)| = raiz(2t)^2 + (8t)^2 + 1^2 = raiz68t^2 + 1
Logo o comprimento é
L = integral0^1 raiz68t^2 + 1,dt

Passo 4

Para integrar integral raiz68t^2+1,dt usamos a primitiva geral para integralraiza^2t^2+1,dt. Definindo a=raiz68, a primitiva é
t2raiza^2t^2+1 + 12alnl(at + raiza^2t^2+1r) + C

Passo 5

Aplicando de 0 a 1 e simplificando com a=raiz68, obtemos
L = 12raiz68cdot1^2+1 + 12raiz68lnl(raiz68+raiz69r) - l(0 + 12raiz68ln1r)
Como ln1=0, resta
L = raiz692 + 12raiz68lnl(raiz68+raiz69r)
Opcionalmente escrevendo raiz68=2raiz17, fica
L = raiz692 + 14raiz17lnl(2raiz17+raiz69r)

Resposta

L = \frac{\sqrt{69}}{2} + \frac{1}{4\sqrt{17}}\ln\bigl(2\sqrt{17}+\sqrt{69}\bigr).

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