Determine uma representação paramétrica de cada uma das superfícies descritas abaixo e calcule sua área:
Sé a parte da esfera x^2+y^2+z^2=4 com z >= raizx^2+y^2raiz3.

Passo 1

A questão pede a parte da esfera x^2+y^2+z^2=4 que satisfaz z>=tfracraizx^2+y^2raiz3. Vamos usar coordenadas esféricas para parametrizar a superfície e depois calcular sua área usando a fórmula de área para superfícies parametrizadas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, a esfera de raio 2 é dada por
vec r(phi,theta)=l(2sinphicostheta,;2sinphisintheta,;2cosphir),
onde 0<=theta<2pi e 0<=phi<=pi. A condição z>=tfracraizx^2+y^2raiz3 vira
2cosphi>=1raiz3,2sinphiLongrightarrowtanphi<=raiz3Longrightarrowphi<=pi3,

Passo 3

Logo, a parametrização da parte desejada é
0<=theta<2pi,0<=phi<=pi3,vec r(phi,theta)=l(2sinphicostheta,;2sinphisintheta,;2cosphir)

Passo 4

O elemento de área em coordenadas esféricas é l|partialphivec rtimespartialthetavec rr|,dphi,dtheta=4sinphi,dphi,dtheta. Assim a área é
integraltheta=0^2piintegralphi=0^pi/34sinphi,dphi,dtheta =2picdot4l[-cosphir]0^pi/3=8pil(1-tfrac12r)=4pi,

Resposta

A parametrização é
vec r(phi,theta)=l(2sinphicostheta,;2sinphisintheta,;2cosphir),
com 0<=theta<2pi e 0<=phi<=pi/3, e a área da superfície é 4pi.

Exercícios relacionados