Justifique se as integrais a seguir são convergentes ou divergentes:
integral0^+infty cos (2 x)x cdot d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria integral0^+infty cos (2 x)x,dx. O conteúdo aqui envolve integrais impróprias com singularidade em 0 e comportamento no infinito; vamos usar, respectivamente, comparação assintótica e o teste de Dirichlet.

Passo 2

Para estudar o comportamento em 0, note que cos(2x)approx1 quando xto0^+. Assim
cos(2x)xsim1x, xto0^+,

Passo 3

Como
integral0^varepsilon1x,dx=[ln x]0^varepsilonto-infty,
a parte de 0 a varepsilon diverge.

Passo 4

Para o comportamento quando xto+infty, considere
I(A)=integralA^+inftycos(2x)x,dx

Passo 5

Aplicando o teste de Dirichlet:
  • Defina f(x)=cos(2x), cuja primitiva F(x)=tfrac12sin(2x) é limitada.
  • Defina g(x)=1/x, que é monótona decrescente e satisfaz limxto+inftyg(x)=0.
    Pelas hipóteses do teste de Dirichlet, I(A) converge para todo A>0.

Passo 6

Porém, como a integral diverge na vizinhança de zero, a integral imprópria completa
integral0^+inftycos(2x)x,dx
é divergente.

Resposta

A integral diverge.

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