Justifique se as integrais a seguir são convergentes ou divergentes:
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
. O conteúdo aqui envolve integrais impróprias com singularidade em 0 e comportamento no infinito; vamos usar, respectivamente, comparação assintótica e o teste de Dirichlet.
Passo 2
Para estudar o comportamento em 0, note que
quando
. Assim
Passo 3
Como
a parte de 0 a
Passo 4
Para o comportamento quando
, considere
Passo 5
Aplicando o teste de Dirichlet:
- Defina
, cuja primitiva é limitada. - Defina
, que é monótona decrescente e satisfaz .
Pelas hipóteses do teste de Dirichlet,converge para todo .
Passo 6
Porém, como a integral diverge na vizinhança de zero, a integral imprópria completa
é divergente.
Resposta
A integral diverge.