Nos Problemas 3-20, escreva o número dado na forma a+i b.

Passo 1

A questão pede para escrever o número (2+3i)(2-i1+2i)^2 na forma a+ib. Vamos usar álgebra de números complexos: racionalização de denominador, propriedades de i e multiplicação.

Passo 2

Primeiro, racionalizamos o denominador de 2 - i1 + 2i multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de 1+2i, que é 1 - 2i.
Expansão e simplificação:
2 - i1 + 2i cdot 1 - 2i1 - 2i = (2 - i)(1 - 2i)(1 + 2i)(1 - 2i) = 2 - 4i - i + 2i^21 - (2i)^2 = 2 - 5i -21 - (-4) = -5i5 = -i

Passo 3

Agora elevamos esse resultado ao quadrado usando i^2 = -1:
(-i)^2 = (-1)^2cdot i^2 = 1 cdot (-1) = -1

Passo 4

Por fim, multiplicamos (2+3i) por -1:
(2+3i)cdot(-1) = -2 - 3i

Resposta

-2 - 3i

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