Calcule o comprimento das curvas
beta(t)=(a e^b t cos (t), a e^b t sin (t)), b<0

Passo 1

Aqui a gente quer achar o comprimento de arco da curva beta(t) = (a e^b tcos t,;a e^b tsin t) no intervalo [t0,t1). O conteúdo é comprimento de curva paramétrica, e vamos precisar usar a fórmula geral
S = integralt0^t1 |beta'(t)|,dt
além de calcular derivadas com regra do produto e integrar exponenciais.

Passo 2

Para usar a fórmula de comprimento de arco, calculamos primeiro a derivada beta'(t) = (x'(t),y'(t)). Temos
x(t) = a e^b tcos t, y(t) = a e^b tsin t
Aplicando regra do produto e chain rule, fica
x'(t) = a e^b t(bcos t - sin t), y'(t) = a e^b t(bsin t + cos t)

Passo 3

Agora achamos a velocidade |beta'(t)| = raizx'(t)^2 + y'(t)^2. Escrevendo:
|beta'(t)| = raiza^2 e^2b tl((bcos t - sin t)^2 + (bsin t + cos t)^2r)
Note que expandindo a soma de quadrados de expressões trigonométricas:
(bcos t - sin t)^2 + (bsin t + cos t)^2 = b^2(cos^2 t + sin^2 t) + (sin^2 t + cos^2 t) = b^2 + 1
Isso simplifica a velocidade para
|beta'(t)| = a e^b traizb^2+1

Passo 4

Por fim, o comprimento é
S = integralt0^t1 a e^b traizb^2+1,dt = araizb^2+1integralt0^t1 e^b t,dt
Como b é constante, integra-se facilmente:
integral e^b t,dt = 1be^b t

Passo 5

Aplicando os limites de integração temos
S = araizb^2+1cdot1bl[e^b tr]t0^t1 = araizb^2+1bl(e^b t1 - e^b t0r)

Resposta

S = araizb^2+1bl(e^b t1 - e^b t0r).

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