Calcule o comprimento das curvas dadas.
r(t)=(t^3, 6 t, 3 t^2), 0 <= t <= 3

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva dada por
r(t)=l(t^3,6t,3t^2r), 0<= t<=3
Estamos tratando de comprimento de arco de uma curva no espaço, cuja fórmula geral é
L=integrala^bl|vec r,'(t)r|,dt

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente:
vec r,'(t)=l(3t^2,,6,,6tr)
A seguir, montamos o módulo (velocidade)
l|vec r,'(t)r| =raiz(3t^2)^2+6^2+(6t)^2 =raiz9t^4+36+36t^2

Passo 3

Observamos que o radicando é um quadrado perfeito:
9t^4+36t^2+36 =9l(t^4+4t^2+4r) =9,(t^2+2)^2
Logo
l|vec r,'(t)r| =raiz9,(t^2+2)^2 =3,l(t^2+2r),
já que t^2+2>=0.

Passo 4

Agora o comprimento de arco é
L=integral0^33l(t^2+2r),dt =3integral0^3l(t^2+2r),dt
Calculando a integral interna:
integral0^3(t^2+2),dt =l[tfract^33+2tr]0^3 =l(9+6r)-0 =15
Multiplicando por 3, obtemos
L=3cdot15=45

Resposta

O comprimento da curva é 45.

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