Determine as equações dos planos normal e osculador da curva no ponto indicado.
r(t)=(sen(2 t),-cos (2 t), 4 t), P=(0,1,2 pi)

Passo 1

O enunciado pede as equações do plano normal e do plano osculador da curva
vec r(t)=(sin(2t),-cos(2t),4t)
no ponto P=(0,1,2pi).
Conteúdo: geometria de curvas em R^3.
Para resolver, vamos precisar de
  1. determinar o parâmetro t0 tal que vec r(t0)=P;
  2. calcular o vetor tangente unitário T(t0);
  3. calcular o binormal B(t0)= T(t0)times N(t0) (ou diretamente r'(t0)times r''(t0));
  4. usar que o plano normal tem normal T(t0) e o plano osculador tem normal B(t0).

Passo 2

Encontrar t0 tal que
sin(2t0)=0, -cos(2t0)=1, 4t0=2pi
Da última igualdade vem t0=pi/2. Verifica-se também que sin(pi)=0 e -cos(pi)=1, logo t0=pi/2 é o valor correto.

Passo 3

Calcular vec r'(t) e a unidade tangente em t0:
vec r'(t)=(2cos(2t),,2sin(2t),,4),
vec r'(tfracpi2)=(-2,0,4), |vec r'(tfracpi2)|=raiz(-2)^2+0^2+4^2=raiz20=2raiz5,
T(tfracpi2)=vec r'(tfracpi2)|vec r'(tfracpi2)| =l(-tfrac1raiz5,,0,,tfrac2raiz5r)

Passo 4

Calcular vec r''(t) e o binormal em t0:
vec r''(t)=(-4sin(2t),,4cos(2t),,0), vec r''(tfracpi2)=(0,-4,0)
O binormal é dado por
B(tfracpi2) = T(tfracpi2)timesvec r''(tfracpi2)|vec r''(tfracpi2)| =l(-tfrac1raiz5,0,tfrac2raiz5r)times(0,-1,0) =l(tfrac2raiz5,0,tfrac1raiz5r)
Podemos usar a direção equivalente (2,0,1).

Passo 5

Equação do plano normal: normal é T(tfracpi2), ponto P, logo
T(tfracpi2)cdotl((x,y,z)-(0,1,2pi)r)=0 ;Longrightarrow; -tfrac1raiz5x+tfrac2raiz5(z-2pi)=0
Multiplicando por raiz5 e rearranjando,
-x+2z-4pi=0 Long<=ftrightarrow x-2z+4pi=0
Equação do plano osculador: normal é B(tfracpi2), logo
B(tfracpi2)cdotl((x,y,z)-(0,1,2pi)r)=0 ;Longrightarrow; 2x+(z-2pi)=0 ;Long<=ftrightarrow; 2x+z-2pi=0

Resposta

Plano normal:
x-2z+4pi=0
Plano osculador:
2x+z-2pi=0

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