Considere a curva dada pela função vetorial r(t)=(5-t, 4 t-3,3 t).
(a) Encontre a função comprimento de arco desta curva a partir do ponto P=(4,1,3) na direção que t cresce;
(b) Reparametrize a curva em relação ao comprimento de arco;

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
vec r(t) = (5 - t,;4t - 3,;3t)
e pede:
(a) a função comprimento de arco s(t) medida a partir do ponto P=(4,1,3) no sentido de t crescente;
(b) a reparametrização da curva em função de s.
Para isso vamos usar a definição
s(t)=integralt0^tllVert vec r,'(u)rrVert,du,
onde t0 é o valor de t em que vec r(t0)=P.

Passo 2

Encontrar t0 tal que vec r(t0)=P.
Resolvendo
5 - t0 = 4, 4t0 - 3 = 1, 3t0 = 3
de 3t0=3 vem t0=1. Verificamos que com t0=1 os outros dois dão certinho.

Passo 3

Calcular vec r,'(t) e seu módulo.
vec r,'(t) = l(-1,;4,;3r),
que é constante, e
llVert vec r,'(t)rrVert = raiz(-1)^2 + 4^2 + 3^2 = raiz1 + 16 + 9 = raiz26

Passo 4

Montar e avaliar o integral do comprimento de arco a partir de t0=1:
s(t) = integral1^t llVert vec r,'(u)rrVert,du = integral1^t raiz26,du = raiz26,(t - 1)

Passo 5

Para reparametrizar em função de s, invertemos
s = raiz26,(t - 1) Longrightarrow t = sraiz26 + 1
Substituindo isso em vec r(t) obtemos
vec r(s) = l(5 - l(tfracsraiz26+1r),; 4l(tfracsraiz26+1r) - 3,; 3l(tfracsraiz26+1r)r)
que simplifica para
vec r(s) = l(4 - tfracsraiz26,;1 + tfrac4sraiz26,;3 + tfrac3sraiz26r)
ou, de forma mais elegante,
vec r(s) = (4,1,3) ;+;sraiz26,(-1,4,3)

Resposta

(a)
s(t) = raiz26,(t - 1)
(b)
vec r(s) = (4,1,3) + sraiz26,(-1,4,3)

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