Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
sumn=1^infty n-1n^2 raizn

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o teste da comparação para descobrir se a série sumn=1^infty n-1n^2 raizn converge ou diverge. Isso envolve matemática de séries infinitas, especificamente analisando o comportamento de termos para decidir se a soma total é um número finito ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para entender melhor:
n-1n^2 raizn = nn^2 raizn - 1n^2 raizn = 1n^1 raizn - 1n^2.5
Mas para facilitar a comparação, vamos focar na forma original n-1n^2 raizn .

Passo 3

Vamos simplificar o termo ainda mais. Como n-1 é quase igual a n para valores grandes de n , podemos aproximar:
n-1n^2 raizn approx nn^2 raizn = 1n^2 raizn = 1n^2.5

Passo 4

Agora, escolhemos uma série com a qual vamos comparar. A série sumn=1^infty 1n^p é conhecida como série p, e sabemos que ela converge se p > 1 e diverge se p <= 1 .
No nosso caso, temos p = 2.5 , que é maior que 1, então a série sumn=1^infty 1n^2.5 converge.

Passo 5

Como nosso termo n-1n^2 raizn é menor ou igual a 1n^2.5 para n suficientemente grande, e a série de comparação sumn=1^infty 1n^2.5 converge, pelo teste da comparação, nossa série original também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty n-1n^2 raizn converge pelo teste da comparação.

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