Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o teste da comparação para descobrir se a série
converge ou diverge. Isso envolve matemática de séries infinitas, especificamente analisando o comportamento de termos para decidir se a soma total é um número finito ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para entender melhor:
Mas para facilitar a comparação, vamos focar na forma original
.
Passo 3
Vamos simplificar o termo ainda mais. Como
é quase igual a
para valores grandes de
, podemos aproximar:
Passo 4
Agora, escolhemos uma série com a qual vamos comparar. A série
é conhecida como série p, e sabemos que ela converge se
e diverge se
.
No nosso caso, temos
, que é maior que 1, então a série
converge.
Passo 5
Como nosso termo
é menor ou igual a
para
suficientemente grande, e a série de comparação
converge, pelo teste da comparação, nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge pelo teste da comparação.