Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva; Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
Passo 1
Então, a gente tem um problema onde precisamos transformar um par de equações paramétricas em uma equação cartesiana. Basicamente, isso significa eliminar o parâmetro
para achar uma relação direta entre
e
. Além disso, vamos esboçar a curva resultante e mostrar com uma seta para qual direção ela se move conforme
aumenta. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de funções exponenciais e lineares, além de entender como eliminar o parâmetro das equações.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para as duas equações que nos foram dadas:
Aqui,
é o parâmetro que relaciona
e
. Nosso objetivo é eliminar
para obter uma única equação que relaciona
e
diretamente.
Passo 3
Vamos começar isolando
na segunda equação para facilitar a substituição. A segunda equação é:
Para isolar
, subtraímos 1 de ambos os lados:
Agora que temos
em termos de
, podemos substituir esse valor na primeira equação.
Passo 4
A primeira equação é:
Substituindo
por
, ficamos com:
Então, a equação cartesiana que relaciona
e
é:
Passo 5
Agora, vamos esboçar essa curva. A equação
é uma função exponencial onde
depende de
. Podemos reescrevê-la para facilitar o entendimento:
Isso mostra que a curva é uma exponencial que cresce à medida que
aumenta. Para esboçar, podemos escolher alguns valores de
e calcular
:
- Se
, então - Se
, então - Se
, então
Plotando esses pontos, vemos que a curva se aproxima de
à medida que
diminui e cresce rapidamente para a direita à medida que
aumenta.
Passo 6
Por fim, precisamos indicar a direção em que a curva é traçada quando
aumenta. Como
está relacionado a
pela equação
, quando
aumenta,
também aumenta. Como
, à medida que
aumenta,
aumenta exponencialmente. Portanto, a seta no esboço da curva deve apontar para a direita, indicando que a curva se move nessa direção conforme
aumenta.
Resposta
A equação cartesiana da curva é
. A curva é uma exponencial que cresce para a direita conforme
aumenta, e a seta no esboço deve apontar para a direita, indicando a direção do aumento de
.