Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva; Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
lx=e^2 t y=t+1

Passo 1

Então, a gente tem um problema onde precisamos transformar um par de equações paramétricas em uma equação cartesiana. Basicamente, isso significa eliminar o parâmetro t para achar uma relação direta entre x e y . Além disso, vamos esboçar a curva resultante e mostrar com uma seta para qual direção ela se move conforme t aumenta. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de funções exponenciais e lineares, além de entender como eliminar o parâmetro das equações.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para as duas equações que nos foram dadas:
x = e^2 t y = t + 1
Aqui, t é o parâmetro que relaciona x e y . Nosso objetivo é eliminar t para obter uma única equação que relaciona x e y diretamente.

Passo 3

Vamos começar isolando t na segunda equação para facilitar a substituição. A segunda equação é:
y = t + 1
Para isolar t , subtraímos 1 de ambos os lados:
t = y - 1
Agora que temos t em termos de y , podemos substituir esse valor na primeira equação.

Passo 4

A primeira equação é:
x = e^2 t
Substituindo t por y - 1 , ficamos com:
x = e^2 (y - 1) = e^2y - 2
Então, a equação cartesiana que relaciona x e y é:
x = e^2y - 2

Passo 5

Agora, vamos esboçar essa curva. A equação x = e^2y - 2 é uma função exponencial onde x depende de y . Podemos reescrevê-la para facilitar o entendimento:
x = e^2(y - 1)
Isso mostra que a curva é uma exponencial que cresce à medida que y aumenta. Para esboçar, podemos escolher alguns valores de y e calcular x :
  • Se y = 1 , então x = e^0 = 1
  • Se y = 2 , então x = e^2 approx 7.39
  • Se y = 0 , então x = e^-2 approx 0.135
Plotando esses pontos, vemos que a curva se aproxima de x = 0 à medida que y diminui e cresce rapidamente para a direita à medida que y aumenta.

Passo 6

Por fim, precisamos indicar a direção em que a curva é traçada quando t aumenta. Como t está relacionado a y pela equação y = t + 1 , quando t aumenta, y também aumenta. Como x = e^2y - 2 , à medida que y aumenta, x aumenta exponencialmente. Portanto, a seta no esboço da curva deve apontar para a direita, indicando que a curva se move nessa direção conforme t aumenta.

Resposta

A equação cartesiana da curva é x = e^2y - 2 . A curva é uma exponencial que cresce para a direita conforme y aumenta, e a seta no esboço deve apontar para a direita, indicando a direção do aumento de t .

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