Determine a equação do plano que passa pelo ponto
e é perpendicular ao vetor
.
Passo 1
O problema pede a equação de um plano que passa por (1, –2, 3) e é perpendicular ao vetor ν = 2 i – 4 j + 5 k. Este é um exercício de geometria analítica em R³, em que vamos usar a definição de plano através de seu vetor normal e de um ponto pertencente a ele.
Passo 2
Você deve lembrar que, se um plano tem vetor normal n e passa por um ponto P₀, sua equação cartesiana pode ser escrita por meio do produto escalar entre n e o vetor (r – r₀) igual a zero. Aqui, r = (x, y, z) é um ponto genérico no plano e r₀ = (1, –2, 3).
Passo 3
O vetor normal do plano é exatamente ν, ou seja, n = (2, –4, 5). Então substituímos na fórmula do produto escalar:
Antes de expandir, escrevemos a condição do produto escalar:
Antes de expandir, escrevemos a condição do produto escalar:
Passo 4
Expandindo e simplificando obtemos:
Passo 5
Reorganizando os termos em forma padrão, chegamos à equação final do plano.
Resposta
2x - 4y + 5z - 25 = 0