Determine a equação do plano que passa pelo ponto (1,-2,3) e é perpendicular ao vetor nu=2 i-4 j+5 k.

Passo 1

O problema pede a equação de um plano que passa por (1, –2, 3) e é perpendicular ao vetor ν = 2 i – 4 j + 5 k. Este é um exercício de geometria analítica em R³, em que vamos usar a definição de plano através de seu vetor normal e de um ponto pertencente a ele.

Passo 2

Você deve lembrar que, se um plano tem vetor normal n e passa por um ponto P₀, sua equação cartesiana pode ser escrita por meio do produto escalar entre n e o vetor (r – r₀) igual a zero. Aqui, r = (x, y, z) é um ponto genérico no plano e r₀ = (1, –2, 3).

Passo 3

O vetor normal do plano é exatamente ν, ou seja, n = (2, –4, 5). Então substituímos na fórmula do produto escalar:
Antes de expandir, escrevemos a condição do produto escalar:

Passo 4

Expandindo e simplificando obtemos:

Passo 5

Reorganizando os termos em forma padrão, chegamos à equação final do plano.

Resposta

2x - 4y + 5z - 25 = 0

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