Calcule o comprimento das curvas dadas a seguir.
f(x)=13(x^2+2)^3 / 2, 0 <= x <= 3

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva definida por
y = f(x) = 13l(x^2+2r)^3/2
no intervalo 0 <= x <= 3. Vamos usar a fórmula de comprimento de arco para y=f(x):
L = integrala^b raiz1 + l(f'(x)r)^2;dx

Passo 2

Calculamos a derivada f'(x) usando a regra da cadeia. Como
f(x)=13(x^2+2)^3/2,
temos
f'(x) = 13cdot 32(x^2+2)^1/2cdot 2x = x,raizx^2+2

Passo 3

Agora formamos o integrando:
1 + l(f'(x)r)^2 = 1 + x^2(x^2+2) = x^4+2x^2+1 = (x^2+1)^2
Como x>=0, temos
raiz1 + (f'(x))^2 = x^2+1

Passo 4

Substituímos na integral de comprimento:
L = integral0^3 (x^2+1);dx
Sabendo que integral x^2,dx = x^3/3 e integral 1,dx = x, obtemos
L = l[tfracx^33 + xr]0^3

Passo 5

Avaliando nos limites:
L = l(3^33 + 3r) - l(0^33 + 0r) = l(9 + 3r) - 0 = 12

Resposta

O comprimento da curva é 12.

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