Questão 1. Utilize o Teorema da Divergência para calcular a integral
em que
é a parte da esfera
que está acima do plano
.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem um exercício de Cálculo Vetorial onde precisamos usar o Teorema da Divergência para calcular uma integral de superfície. O enunciado pede pra gente integrar a função
sobre a parte da esfera
que está acima do plano
. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o Teorema da Divergência e como aplicá-lo em superfícies fechadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Basicamente, ele relaciona a integral de uma função vetorial sobre uma superfície fechada com a integral da divergência dessa função sobre o volume dentro da superfície. Matematicamente, é escrito como:
No nosso caso, a superfície
não está fechada porque é apenas a parte de cima da esfera. Então, pra usar o teorema, vamos fechar a superfície adicionando o disco
no plano
.
Passo 3
Agora, precisamos definir o campo vetorial
que corresponde à nossa função escalar. Observando a expressão dada:
Podemos associar isso a um campo vetorial
.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de
. A divergência é dada por:
Calculando cada termo:
Então,
Passo 5
Agora, aplicamos o Teorema da Divergência. A integral sobre a superfície fechada
é igual à integral da divergência sobre o volume
:
Mas nosso interesse é apenas a integral sobre
. Então, rearranjamos:
Passo 6
Vamos avaliar cada parte:
- Integral de volume: Devido à simetria da esfera e das funções impares como
, essas integrais anulam. Fica:
Como
é uma função par em relação a
sobre um volume simétrico, sua integral também anula, restando apenas:
- Integral sobre o disco
: No plano , e o vetor normal é . Então:
Portanto, essa integral é zero.
Resposta
A integral vale
.