Questão 1. Utilize o Teorema da Divergência para calcular a integral
integral duplaS[x(x^3+e^y)+y^4+z(1+z^3)] d S
em que S é a parte da esfera x^2+y^2+z^2=1 que está acima do plano z=0.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um exercício de Cálculo Vetorial onde precisamos usar o Teorema da Divergência para calcular uma integral de superfície. O enunciado pede pra gente integrar a função [x(x^3+e^y)+y^4+z(1+z^3)] sobre a parte da esfera x^2+y^2+z^2=1 que está acima do plano z=0 . Para resolver isso, a gente vai precisar entender o Teorema da Divergência e como aplicá-lo em superfícies fechadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Basicamente, ele relaciona a integral de uma função vetorial sobre uma superfície fechada com a integral da divergência dessa função sobre o volume dentro da superfície. Matematicamente, é escrito como:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
No nosso caso, a superfície S não está fechada porque é apenas a parte de cima da esfera. Então, pra usar o teorema, vamos fechar a superfície adicionando o disco D no plano z=0 .

Passo 3

Agora, precisamos definir o campo vetorial F que corresponde à nossa função escalar. Observando a expressão dada:
[x(x^3+e^y)+y^4+z(1+z^3)]
Podemos associar isso a um campo vetorial F = ( x(x^3+e^y), y^4, z(1+z^3) ) .

Passo 4

Vamos calcular a divergência de F . A divergência é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Calculando cada termo:
partialpartial x( x(x^3+e^y) ) = 4x^3 + e^y
partialpartial y( y^4 ) = 4y^3
partialpartial z( z(1+z^3) ) = 1 + 4z^3
Então,
nabla cdot F = 4x^3 + e^y + 4y^3 + 1 + 4z^3

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema da Divergência. A integral sobre a superfície fechada S + D é igual à integral da divergência sobre o volume V :
integral duplaS + D F cdot dS = integral triplaV (4x^3 + e^y + 4y^3 + 1 + 4z^3) dV
Mas nosso interesse é apenas a integral sobre S . Então, rearranjamos:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV (4x^3 + e^y + 4y^3 + 1 + 4z^3) dV - integral duplaD F cdot dS

Passo 6

Vamos avaliar cada parte:
  1. Integral de volume: Devido à simetria da esfera e das funções impares como x^3, y^3, z^3 , essas integrais anulam. Fica:
integral triplaV ( e^y + 1 ) dV
Como e^y é uma função par em relação a y sobre um volume simétrico, sua integral também anula, restando apenas:
integral triplaV 1 , dV = Volume da semi-esfera = 23pi
  1. Integral sobre o disco D : No plano z=0 , F = (x(x^3+e^y), y^4, 0) e o vetor normal é n = (0,0,-1) . Então:
F cdot n = 0
Portanto, essa integral é zero.

Resposta

A integral vale dfrac23pi .

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