Utilize o Teorema da Divergência para calcular a integral
integral duplaS[x^4+y^4+z(x^2+y^2+z^3)] d S
em que S é a parte da esfera x^2+y^2+z^2=1 que está acima do plano z=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície:
integral duplaS[x^4+y^4+z(x^2+y^2+z^3)] d S
Aqui, S é a parte da esfera x^2+y^2+z^2=1 que está acima do plano z=0 . Isso envolve conhecimentos de cálculo vetorial, especialmente sobre o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície de um campo vetorial com a integral de volume da divergência desse campo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que para um campo vetorial F :
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Ou seja, a integral de superfície de F sobre S é igual à integral de volume da divergência de F sobre o volume V limitado por S .

Passo 3

Vamos identificar nosso campo vetorial F . A expressão dada na integral de superfície é:
Fx = x^4, Fy = y^4, Fz = z(x^2+y^2+z^3)
Então, temos:
F = lang<= x^4, y^4, z(x^2+y^2+z^3) rang<=

Passo 4

Agora, precisamos calcular a divergência de F , que é:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Calculando cada termo:
partial Fxpartial x = 4x^3
partial Fypartial y = 4y^3
partial Fzpartial z = partialpartial z(zx^2 + zy^2 + z^4) = x^2 + y^2 + 4z^3
Então,
nabla cdot F = 4x^3 + 4y^3 + x^2 + y^2 + 4z^3

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema da Divergência, a integral de superfície vira uma integral de volume sobre a metade superior da esfera (como S é a parte acima de z=0 ):
integral triplaV (4x^3 + 4y^3 + x^2 + y^2 + 4z^3) dV
Observando que, devido à simetria da esfera, os termos ímpares como x^3 e y^3 vão se anular quando integrados sobre todo o volume. Então, restam:
integral triplaV (x^2 + y^2 + 4z^3) dV

Passo 6

Vamos mudar para coordenadas esféricas, onde x = rsinthetacosphi , y = rsinthetasinphi , z = rcostheta , e o elemento de volume é dV = r^2sintheta , dr , dtheta , dphi .
Nos limites, r vai de 0 a 1, theta de 0 a pi2 (já que estamos acima de z=0 ), e phi de 0 a 2pi .

Passo 7

Vamos calcular a integral:
integral0^2pi integral0^pi2 integral0^1 (r^2sin^2theta + 4r^3cos^3theta) r^2sintheta , dr , dtheta , dphi
Separando as integrais:
integral0^2pi dphi cdot integral0^pi2 sin^3theta , dtheta cdot integral0^1 r^4 , dr + 4 integral0^2pi dphi cdot integral0^pi2 cos^3theta sintheta , dtheta cdot integral0^1 r^5 , dr
Calculando cada parte:
integral0^2pi dphi = 2pi
integral0^pi2 sin^3theta , dtheta = 23
integral0^1 r^4 , dr = 15
integral0^pi2 cos^3theta sintheta , dtheta = 14
integral0^1 r^5 , dr = 16

Passo 8

Substituindo de volta:
2pi cdot 23 cdot 15 + 4 cdot 2pi cdot 14 cdot 16 = 4pi15 + 8pi24 = 4pi15 + pi3 = 4pi15 + 5pi15 = 9pi15 = 3pi5

Resposta

A integral vale 3pi5 .

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