Utilize o Teorema da Divergência para calcular a integral
em que
é a parte da esfera
que está acima do plano
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície:
Aqui,
é a parte da esfera
que está acima do plano
. Isso envolve conhecimentos de cálculo vetorial, especialmente sobre o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície de um campo vetorial com a integral de volume da divergência desse campo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que para um campo vetorial
:
Ou seja, a integral de superfície de
sobre
é igual à integral de volume da divergência de
sobre o volume
limitado por
.
Passo 3
Vamos identificar nosso campo vetorial
. A expressão dada na integral de superfície é:
Então, temos:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a divergência de
, que é:
Calculando cada termo:
Então,
Passo 5
Agora, aplicando o Teorema da Divergência, a integral de superfície vira uma integral de volume sobre a metade superior da esfera (como
é a parte acima de
):
Observando que, devido à simetria da esfera, os termos ímpares como
e
vão se anular quando integrados sobre todo o volume. Então, restam:
Passo 6
Vamos mudar para coordenadas esféricas, onde
,
,
, e o elemento de volume é
.
Nos limites,
vai de 0 a 1,
de 0 a
(já que estamos acima de
), e
de 0 a
.
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Separando as integrais:
Calculando cada parte:
Passo 8
Substituindo de volta:
Resposta
A integral vale
.