Calcule o comprimento da curvas no intervalo descrito
\alpha(t)=(2 t+1,-t) em [-2,2].

Passo 1

O enunciado fornece a curva \alpha(t)=(2t+1,\,-t) no intervalo [-2,2] e pede o comprimento de arco dessa curva. O conteúdo é o cálculo de comprimento de curva paramétrica, usando a fórmula
L=\int_{a}^{b}\bigl\|\alpha'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Aplicamos a definição: se \alpha\colon [a,b]\to\mathbb{R}^2 é diferenciável e \alpha' contínua, então
L=\int_{a}^{b}\|\alpha'(t)\|\,dt.

Passo 3

Calculamos a derivada de \alpha(t). Como os componentes são x(t)=2t+1 e y(t)=-t,
\alpha'(t)=(2,\,-1).
A velocidade escalar é
\|\alpha'(t)\|=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{5},
constante em todo o intervalo.

Passo 4

Como \|\alpha'(t)\|=\sqrt{5} é constante, o comprimento é
L=\int_{-2}^{2}\sqrt{5}\,dt=\sqrt{5}\,\bigl(2-(-2)\bigr)=4\sqrt{5}.

Resposta

O comprimento da curva é 4\sqrt{5}.

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