Calcule o comprimento da curvas no intervalo descrito \alpha(t)=(2 t+1,-t) em [-2,2].
Passo 1
O enunciado fornece a curva \alpha(t)=(2t+1,\,-t) no intervalo [-2,2] e pede o comprimento de arco dessa curva. O conteúdo é o cálculo de comprimento de curva paramétrica, usando a fórmula
L=\int_{a}^{b}\bigl\|\alpha'(t)\bigr\|\,dt.
Passo 2
Aplicamos a definição: se \alpha\colon [a,b]\to\mathbb{R}^2 é diferenciável e \alpha' contínua, então
L=\int_{a}^{b}\|\alpha'(t)\|\,dt.
Passo 3
Calculamos a derivada de \alpha(t). Como os componentes são x(t)=2t+1 e y(t)=-t,
\alpha'(t)=(2,\,-1).
A velocidade escalar é
\|\alpha'(t)\|=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{5},
constante em todo o intervalo.
Passo 4
Como \|\alpha'(t)\|=\sqrt{5} é constante, o comprimento é