Use um software algébrico (Wolframalpha, por exemplo) para encontrar o traço de cada curva dada pela forma polar:
r(\theta)=\sin (2 \theta)

Passo 1

O enunciado pede o traço cartesiano da curva dada em coordenadas polares por
r(\theta)=\sin(2\theta).
Vamos eliminar o parâmetro \theta para obter uma relação entre x e y.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica
\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta,
de modo que a equação polar fica
r=2\sin\theta\cos\theta.

Passo 3

Em coordenadas cartesianas temos \sin\theta=\tfrac{y}{r} e \cos\theta=\tfrac{x}{r}. Substituindo em r=2\sin\theta\cos\theta
r=2\,\frac{y}{r}\,\frac{x}{r} \quad\Longrightarrow\quad r=\frac{2xy}{r^2}.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por r^2 obtemos
r^3=2\,x\,y.

Passo 5

Como r=\sqrt{x^2+y^2}, substituímos para ter
\bigl(\sqrt{x^2+y^2}\bigr)^3=2\,x\,y \quad\Longrightarrow\quad (x^2+y^2)^{\tfrac32}=2xy.

Passo 6

Para eliminar o radical, elevamos ao quadrado e chegamos à equação cartesiana do traço:
(x^2+y^2)^3=4\,x^2\,y^2.

Resposta

(x^2+y^2)^3=4\,x^2\,y^2

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