Resolver as seguintes EDÖS lineares de ordem superior
y^{(3)}+3 y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+2 y=e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de ordem três com coeficientes constantes e termo não-homogêneo
y^{(3)} + 3y'' - 4y' + 2y = e^{x}.
O conteúdo é “equação diferencial linear de ordem superior”: primeiro achamos a solução geral da parte homogênea via equação característica e depois obtemos uma solução particular pelo método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Escrevemos a equação homogênea associada
y^{(3)} + 3y'' - 4y' + 2y = 0
e montamos sua equação característica
r^3 + 3r^2 - 4r + 2 = 0.

Passo 3

Seja r_1,r_2,r_3 as raízes (distintas) de
r^3 + 3r^2 - 4r + 2 = 0.
Então a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} + C_3 e^{r_3 x},
onde C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias.

Passo 4

Para a parte não-homogênea, como o termo à direita é e^x e r=1 não anula a característica (pois 1^3+3\cdot1^2-4\cdot1+2=2\neq0), usamos o ansatz
y_p(x) = A\,e^x.

Passo 5

Substituindo y_p na equação original:
y_p^{(3)} + 3y_p'' - 4y_p' + 2y_p = A\bigl(1+3-4+2\bigr)e^x = 2A\,e^x
deve ser igual a e^x. Logo
2A\,e^x = e^x \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac12.

Resposta

A solução geral da equação dada é
y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} + C_3 e^{r_3 x} + \tfrac12\,e^x,
onde r_1,r_2,r_3 são as raízes da equação característica r^3+3r^2-4r+2=0 e C_1,C_2,C_3 constantes arbitrárias.

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