Dada a equação diferencial
\frac{d y}{d x}+\frac{2 y^{2}+6 x y-4}{3 x^{2}+4 x y+3 y^{2}}=0 .
(1,5) Determine a solução da EDO apresentada. R: 2 x y^{2}+3 x^{2} y-4 x+y^{3}=C

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
\frac{dy}{dx} + \frac{2y^{2} + 6xy - 4}{3x^{2} + 4xy + 3y^{2}} = 0
e pede a solução geral. Vamos reconhecer esta equação como uma forma diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0,
verificar que é exata e, em seguida, encontrar uma função potencial F(x,y) tal que dF=0.

Passo 2

Reescrevendo a EDO em forma diferencial, isolamos dy/dx e multiplicamos por dx:
\frac{dy}{dx} = -\frac{2y^{2}+6xy-4}{3x^{2}+4xy+3y^{2}} \quad\Longrightarrow\quad (3x^{2}+4xy+3y^{2})\,dy + (2y^{2}+6xy-4)\,dx = 0.
Logo,
M(x,y) = 2y^{2} + 6xy - 4, \quad N(x,y) = 3x^{2} + 4xy + 3y^{2}.

Passo 3

Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = 4y + 6x, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 6x + 4y.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a forma é exata.

Passo 4

Procuramos F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x} = M(x,y).
Integramos M em relação a x:
F(x,y) = \int (2y^{2} + 6xy - 4)\,dx = 2x y^{2} + 3x^{2}y - 4x + h(y).
Agora impomos
\frac{\partial F}{\partial y} = 4xy + 3x^{2} + h'(y) \stackrel{!}{=} N(x,y) = 3x^{2} + 4xy + 3y^{2},
de onde h'(y)=3y^{2} e, integrando, h(y)=y^{3}.

Passo 5

Portanto a função potencial é
F(x,y) = 2x y^{2} + 3x^{2}y - 4x + y^{3},
e a solução geral implícita fica
2x y^{2} + 3x^{2}y - 4x + y^{3} = C.

Resposta

2x y^{2} + 3x^{2}y - 4x + y^{3} = C

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