Dado o problema de valor inicial
(a)
Classifique a EDO quanto à sua ordem e quanto à linearidade.
(b)
Determine o maior intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única).
:
(c)
Mostre que a função encontrada em c) é, de fato, solução da EDO apresentada.
(d)
Determine a solução do PVI. R:
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O problema é o PVI
Estamos em EDO de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante, além de discutir existência e unicidade de solução.
Passo 2
Para classificar a EDO escrevemos
que é de primeira ordem (aparece apenas
) e linear em
(é da forma
, aqui
), logo é uma EDO linear homogênea de ordem 1.
Passo 3
A função
e sua derivada parcial
são contínuas em todo o plano
. Pelo Teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf, a solução existe e é única para todo
.
Passo 4
Colocamos a EDO na forma padrão
O fator integrante é
Multiplicando a EDO por
obtemos
Passo 5
Aplicando a condição inicial
na solução geral
:
Logo
Passo 6
Verificação direta:
e claramente
. Assim
satisfaz a EDO e a condição inicial.
Resposta
(a) É uma EDO de primeira ordem e linear homogênea.
(b) A solução existe e é única em todo .
(c) Substituindo temos
(b) A solução existe e é única em todo
(c) Substituindo
logo satisfaz a EDO, e
.
(d) A solução do PVI é
(d) A solução do PVI é