Dado o problema de valor inicial
y^{\prime}=2 x y-y, \quad y(0)=2 .
(a) (0,4) Classifique a EDO quanto à sua ordem e quanto à linearidade.
(b) (0,3) Determine o maior intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única). R : \mathbb{R}=(-\infty,+\infty)
(c) (0,4) Mostre que a função encontrada em c) é, de fato, solução da EDO apresentada.
(d) (1,5) Determine a solução do PVI. R: 2 e^{x^{2}-x}

Passo 1

O problema é o PVI
y'=2xy - y,\quad y(0)=2.
Estamos em EDO de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante, além de discutir existência e unicidade de solução.

Passo 2

Para classificar a EDO escrevemos
y'-2xy+y=0,
que é de primeira ordem (aparece apenas y') e linear em y (é da forma y'+p(x)y=q(x), aqui q(x)=0), logo é uma EDO linear homogênea de ordem 1.

Passo 3

A função f(x,y)=2xy-y e sua derivada parcial \partial f/\partial y=2x-1 são contínuas em todo o plano \mathbb{R}^2. Pelo Teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf, a solução existe e é única para todo x\in(-\infty,\infty).

Passo 4

Colocamos a EDO na forma padrão
y' + (1-2x)\,y = 0.
O fator integrante é
\mu(x)=\exp\Bigl(\int(1-2x)\,dx\Bigr)=\exp(x - x^2).
Multiplicando a EDO por \mu(x) obtemos
\bigl(y\,e^{\,x - x^2}\bigr)'=0 \quad\Longrightarrow\quad y\,e^{\,x - x^2}=C \quad\Longrightarrow\quad y = C\,e^{\,x^2 - x}.

Passo 5

Aplicando a condição inicial y(0)=2 na solução geral y=C\,e^{\,x^2 - x}:
2 = C\,e^{0}\quad\Longrightarrow\quad C=2.
Logo
y(x)=2\,e^{\,x^2 - x}.

Passo 6

Verificação direta:
y'(x) =2\,e^{x^2 - x}\,(2x-1) =(2x-1)\,y =2x\,y - y,
e claramente y(0)=2. Assim y(x)=2e^{x^2 - x} satisfaz a EDO e a condição inicial.

Resposta

(a) É uma EDO de primeira ordem e linear homogênea.
(b) A solução existe e é única em todo \mathbb{R}=(-\infty,\infty).
(c) Substituindo y=2e^{x^2 - x} temos
y'=(2x-1)y=2xy-y,
logo satisfaz a EDO, e y(0)=2.
(d) A solução do PVI é
y(x)=2\,e^{\,x^2 - x}.

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