Calcule o comprimento das curvas parametrizadas
alpha(t) & =(2-3 t) i+4 t j beta(t) & =-sen t i-3 t j+cos t k zeta(t) & =e^t sen t i+e^t cos t j
com 0 <= t <= 1 em todos os casos.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de três curvas parametrizadas em [0,1]. O conteúdo é “comprimento de curva” em geometria de curvas, que fazemos calculando a derivada do vetor posição r(t), extraindo sua norma lVert r'(t)rVert e integrando de 0 a 1:
L=integral0^1lVert r'(t)rVert,dt

Passo 2

Para alpha(t)=(2-3t),i+4t,j temos
alpha'(t)=-3,i+4,jLongrightarrowlVertalpha'(t)rVert=raiz(-3)^2+4^2=5
Como a norma é constante,
Lalpha=integral0^15,dt=5

Passo 3

Para beta(t)=-sen t,i-3t,j+cos t,k calculamos
beta'(t)=-cos t,i-3,j-sin t,k
e
lVertbeta'(t)rVert =raizcos^2t+9+sin^2t =raiz10
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Lbeta=integral0^1raiz10,dt=raiz10

Passo 4

Para zeta(t)=e^tsen t,i+e^tcos t,j temos
zeta'(t) =l(e^tsen t+e^tcos tr)i +l(e^tcos t-e^tsen tr)j
Então
lVertzeta'(t)rVert =raize^2t(sen t+cos t)^2+e^2t(cos t-sen t)^2 =raiz2,e^t
Portanto
Lzeta =integral0^1raiz2,e^t,dt =raiz2l(e^1-1r)

Resposta

Lalpha=5
Lbeta=raiz10
Lzeta=raiz2,(e-1)

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