Calcule o comprimento das curvas parametrizadas alpha(t) & =(2-3 t) i+4 t j beta(t) & =-sen t i-3 t j+cos t k zeta(t) & =e^t sen t i+e^t cos t j com 0 <= t <= 1 em todos os casos. Passo 1O enunciado pede o comprimento de três curvas parametrizadas em [0,1]. O conteúdo é “comprimento de curva” em geometria de curvas, que fazemos calculando a derivada do vetor posição r(t), extraindo sua norma lVert r'(t)rVert e integrando de 0 a 1: L=integral0^1lVert r'(t)rVert,dt Passo 2Para alpha(t)=(2-3t),i+4t,j temos alpha'(t)=-3,i+4,jLongrightarrowlVertalpha'(t)rVert=raiz(-3)^2+4^2=5 Como a norma é constante, Lalpha=integral0^15,dt=5 Passo 3Para beta(t)=-sen t,i-3t,j+cos t,k calculamos beta'(t)=-cos t,i-3,j-sin t,k e lVertbeta'(t)rVert =raizcos^2t+9+sin^2t =raiz10 Logo Lbeta=integral0^1raiz10,dt=raiz10 Passo 4Para zeta(t)=e^tsen t,i+e^tcos t,j temos zeta'(t) =l(e^tsen t+e^tcos tr)i +l(e^tcos t-e^tsen tr)j Então lVertzeta'(t)rVert =raize^2t(sen t+cos t)^2+e^2t(cos t-sen t)^2 =raiz2,e^t Portanto Lzeta =integral0^1raiz2,e^t,dt =raiz2l(e^1-1r) Resposta Lalpha=5 Lbeta=raiz10 Lzeta=raiz2,(e-1) MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosCalcule as equações da reta tangente e do plano normal à curva alpha(t)=t i-t^2 j-t^3 k, no ponto alpha(-1). Calcule os comprimentos dos gráficos de f(x)=x^44+18 x^2 e g(x)=x^510+16 x^3, 1 <= x <= 2 Dica: baseie-se no Exemplo 4.8. Encontre as curvas de nível Sc(f), c in R, da seguinte função f(x, y)^2+2 x-3 y=1. Calcule as integrais de superfície integral duplaS F cdot d S para: campo F(x, y, z)=x z e^y i-x z e^y j+z k, onde a superfície S é a parte do plano x+y+z=1 restrito ao primeiro octante, com orientação para baixo;