Calcule o comprimento das curvas.
r(t)=(t, t^32) para 0 <= t <= 4.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva paramétrica r(t)=(t,,t^3/2) para 0<= t<=4. O conteúdo é comprimento de arco de uma curva em coordenadas paramétricas, e vamos usar a fórmula
L=integrala^braizl(tfracdxdtr)^2+l(tfracdydtr)^2,dt

Passo 2

Calculamos as derivadas:
dxdt=1, dydt=32t^1/2

Passo 3

Formamos o integrando:
raiz1^2+l(tfrac32t^1/2r)^2 =raiz1+94t =12raiz4+9t

Passo 4

O comprimento é
L=integral0^412raiz4+9t,dt
Fazemos a substituição u=4+9t, de modo que du=9,dt, e os limites vão de u(0)=4 até u(4)=40.

Passo 5

Com isso:
L=12integral0^4raiz4+9t,dt =12integral4^40! raizu9,du =118integral4^40u^1/2,du =118cdot23l[u^3/2r]4^40 =127l(40^3/2-4^3/2r)
Calculamos
40^3/2=(raiz40)^3=(2raiz10)^3=80raiz10
e 4^3/2=8, obtendo:
L=127l(80raiz10-8r) =827l(10raiz10-1r)

Resposta

L=827l(10raiz10-1r)

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