Calcule o comprimento das curvas
r(t)=a(cos t+t sen t) i+a(sen t-t cos t) j com 0 <= t <= 2 pi, a>0

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva paramétrica vec r(t)=a(cos t+tsin t)vec i+a(sin t-tcos t)vec j para 0<= t<=2pi. O conteúdo é comprimento de arco de uma curva no plano e vamos precisar usar a fórmula
L=integralt0^t1|dvec rdt|,dt

Passo 2

Para aplicar a fórmula, vamos derivar vec r(t). Seja
x=a(cos t+tsin t), y=a(sin t-tcos t)
Então
dxdt=a(-sin t+sin t+tcos t)=a,tcos t,
dydt=a(cos t-cos t+tsin t)=a,tsin t

Passo 3

Com as derivadas, o módulo do vetor velocidade é
|dvec rdt|=raiz(a,tcos t)^2+(a,tsin t)^2=a,traizcos^2t+sin^2t=a,t

Passo 4

Agora, basta integrar de 0 a 2pi:
L=integral0^2pia,t,dt=a[tfract^22]0^2pi=acdot(2pi)^22=2api^2

Resposta

L=2api^2.

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