Encontre a equação do plano que contenha os pontos P=(2,1,-2), Q=(-8,1,10) e R=(-6,0,0).
Verifique se todos os três pontos satisfazem a equação encontrada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano que passa pelos três pontos $ P = (2, 1, -2) $, $ Q = (-8, 1, 10) $ e $ R = (-6, 0, 0) $. Isso envolve conhecimentos de geometria no espaço, especificamente sobre planos e vetores. Vamos precisar usar vetores para encontrar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação de um plano pode ser escrita na forma:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
onde $ (A, B, C) $ é o vetor normal ao plano e $ (x_0, y_0, z_0) $ é um ponto qualquer que está no plano.

Passo 3

Para encontrar o vetor normal $ \vec{n} = (A, B, C) $, precisamos dos vetores que estão no plano. Vamos usar os pontos $ P $, $ Q $ e $ R $ para formar dois vetores no plano:
n = (A, B, C)
P

Passo 4

Agora, para encontrar o vetor normal $ \vec{n} $, tiramos o produto vetorial de $ \vec{PQ} $ e $ \vec{PR} $:
n
Calculando o determinante:
PQ
PR
n = PQ times PR = i & j & k -10 & 0 & 12 -8 & -1 & 2
n = i(0 cdot 2 - 12 cdot (-1)) - j(-10 cdot 2 - 12 cdot (-8)) + k(-10 cdot (-1) - 0 cdot (-8))

Passo 5

Agora que temos o vetor normal, podemos usar um dos pontos para montar a equação do plano. Vamos usar o ponto $ P = (2, 1, -2) $:
P = (2, 1, -2)

Passo 6

Vamos simplificar essa equação:
12x - 24 - 76y + 76 + 10z + 20 = 0
12x - 76y + 10z + ( -24 + 76 + 20 ) = 0
12x - 76y + 10z + 72 = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
6x - 38y + 5z + 36 = 0

Passo 7

Então, a equação do plano é:
6x - 38y + 5z + 36 = 0

Passo 8

Agora, vamos verificar se os três pontos satisfazem essa equação.
Para $ P = (2, 1, -2) $:
P = (2, 1, -2)
Para $ Q = (-8, 1, 10) $:
6(2) - 38(1) + 5(-2) + 36 = 12 - 38 - 10 + 36 = 0
Para $ R = (-6, 0, 0) $:
Q = (-8, 1, 10)

Resposta

A equação do plano que contém os pontos $ P $, $ Q $ e $ R $ é:
P
E todos os três pontos satisfazem essa equação.

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