Encontre a equação do plano que contenha os pontos
e
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Verifique se todos os três pontos satisfazem a equação encontrada.
Verifique se todos os três pontos satisfazem a equação encontrada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano que passa pelos três pontos $ P = (2, 1, -2) $, $ Q = (-8, 1, 10) $ e $ R = (-6, 0, 0) $. Isso envolve conhecimentos de geometria no espaço, especificamente sobre planos e vetores. Vamos precisar usar vetores para encontrar a equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação de um plano pode ser escrita na forma:
onde $ (A, B, C) $ é o vetor normal ao plano e $ (x_0, y_0, z_0) $ é um ponto qualquer que está no plano.
Passo 3
Para encontrar o vetor normal $ \vec{n} = (A, B, C) $, precisamos dos vetores que estão no plano. Vamos usar os pontos $ P $, $ Q $ e $ R $ para formar dois vetores no plano:
Passo 4
Agora, para encontrar o vetor normal $ \vec{n} $, tiramos o produto vetorial de $ \vec{PQ} $ e $ \vec{PR} $:
Calculando o determinante:
Passo 5
Agora que temos o vetor normal, podemos usar um dos pontos para montar a equação do plano. Vamos usar o ponto $ P = (2, 1, -2) $:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Passo 7
Então, a equação do plano é:
Passo 8
Agora, vamos verificar se os três pontos satisfazem essa equação.
Para $ P = (2, 1, -2) $:
Para $ Q = (-8, 1, 10) $:
Para $ R = (-6, 0, 0) $:
Resposta
A equação do plano que contém os pontos $ P $, $ Q $ e $ R $ é:
E todos os três pontos satisfazem essa equação.