Seja P o plano 4x+8y-z=1. Encontre uma equação do plano paralelo a P passando pela origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação de um plano que seja paralelo ao plano P, que é dado por 4x + 8y - z = 1, e que passe pela origem (o ponto (0, 0, 0)). Aqui, estamos lidando com geometria analítica, especificamente com a equação de planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, precisamos entender como identificar planos paralelos e como ajustar a equação para que ela passe pela origem.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a forma geral da equação de um plano: Ax + By + Cz = D. Nessa equação, (A, B, C) é o vetor normal ao plano, ou seja, um vetor perpendicular ao plano. Dois planos são paralelos se eles têm o mesmo vetor normal, o que significa que os coeficientes A, B e C serão os mesmos para ambos os planos.

Passo 3

Como queremos um plano paralelo a P, ele deve ter o mesmo vetor normal. Então, a nova equação do plano vai ser da forma 4x + 8y - z = D, onde D é uma constante que vamos descobrir. Essa constante determina a “posição” do plano no espaço.

Passo 4

Agora, precisamos que esse novo plano passe pela origem, ou seja, que o ponto (0, 0, 0) esteja nele. Para encontrar D, substituímos x, y e z por 0 na equação:
4(0) + 8(0) - (0) = D 0 + 0 - 0 = D 0 = D

Passo 5

Então, descobrimos que D = 0. Substituindo esse valor na equação do plano, temos:
4x + 8y - z = 0

Resposta

A equação do plano paralelo a P que passa pela origem é 4x + 8y - z = 0.

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