Encontre a equação do plano que contenha os pontos P=(0,1,0), Q=(-4,1,4) e origem.
Verifique se todos os três pontos satisfazem a equação encontrada.

Passo 1

Vamos resumir o que o enunciado está pedindo. Precisamos encontrar a equação de um plano que passa por três pontos específicos: $ P = (0, 1, 0) $, $ Q = (-4, 1, 4) $ e a origem $ O = (0, 0, 0) $. Para resolver isso, vamos precisar utilizar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações de planos e vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano no espaço é dada por:
Ax + By + Cz + D = 0
onde $ (A, B, C) $ são os coeficientes normais ao plano.

Passo 3

Para determinar os coeficientes $ A, B, C $, precisamos encontrar dois vetores que estão no plano e, em seguida, calcular o produto vetorial desses vetores para obter um vetor normal ao plano.

Passo 4

Vamos encontrar dois vetores no plano usando os pontos dados. Tomando a origem $ O = (0, 0, 0) $, o vetor $ \vec{OP} $ será:
O = (0, 0, 0)
e o vetor $ \vec{OQ} $ será:
OP

Passo 5

Agora, calculamos o produto vetorial $ \vec{OP} \times \vec{OQ} $ para encontrar o vetor normal $ \vec{n} $:
OP times OQ
n
n = OP times OQ = i & j & k 0 & 1 & 0 -4 & 1 & 4

Passo 6

Com o vetor normal $ \vec{n} = (4, 0, 4) $, podemos escrever a equação do plano. Usando a forma:
n = (4, 0, 4)
onde $ (x_0, y_0, z_0) $ é um ponto no plano, vamos usar a origem $ O = (0, 0, 0) $:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
(x0, y0, z0)

Passo 7

Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por 4:
x + z = 0

Passo 8

Agora, vamos verificar se todos os três pontos dados satisfazem a equação encontrada. Substituindo as coordenadas de cada ponto na equação $ x + z = 0 $:
Para a origem $ O = (0, 0, 0) $:
x + z = 0
Para $ P = (0, 1, 0) $:
O = (0, 0, 0)
Para $ Q = (-4, 1, 4) $:
0 + 0 = 0 (Verdadeiro)

Resposta

A equação do plano é $ x + z = 0 $. Todos os três pontos satisfazem essa equação.

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