Encontre a equação do plano que contenha os pontos
e origem.
Verifique se todos os três pontos satisfazem a equação encontrada.
Verifique se todos os três pontos satisfazem a equação encontrada.
Passo 1
Vamos resumir o que o enunciado está pedindo. Precisamos encontrar a equação de um plano que passa por três pontos específicos: $ P = (0, 1, 0) $, $ Q = (-4, 1, 4) $ e a origem $ O = (0, 0, 0) $. Para resolver isso, vamos precisar utilizar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações de planos e vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano no espaço é dada por:
onde $ (A, B, C) $ são os coeficientes normais ao plano.
Passo 3
Para determinar os coeficientes $ A, B, C $, precisamos encontrar dois vetores que estão no plano e, em seguida, calcular o produto vetorial desses vetores para obter um vetor normal ao plano.
Passo 4
Vamos encontrar dois vetores no plano usando os pontos dados. Tomando a origem $ O = (0, 0, 0) $, o vetor $ \vec{OP} $ será:
e o vetor $ \vec{OQ} $ será:
Passo 5
Agora, calculamos o produto vetorial $ \vec{OP} \times \vec{OQ} $ para encontrar o vetor normal $ \vec{n} $:
Passo 6
Com o vetor normal $ \vec{n} = (4, 0, 4) $, podemos escrever a equação do plano. Usando a forma:
onde $ (x_0, y_0, z_0) $ é um ponto no plano, vamos usar a origem $ O = (0, 0, 0) $:
Passo 7
Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por 4:
Passo 8
Agora, vamos verificar se todos os três pontos dados satisfazem a equação encontrada. Substituindo as coordenadas de cada ponto na equação $ x + z = 0 $:
Para a origem $ O = (0, 0, 0) $:
Para $ P = (0, 1, 0) $:
Para $ Q = (-4, 1, 4) $:
Resposta
A equação do plano é $ x + z = 0 $. Todos os três pontos satisfazem essa equação.