(2,5) Calcule o comprimento da espiral r=e^2 thetaraiz2,-pi2 <= theta <= pi2.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da espiral dada em coordenadas polares por
r=e^2thetaraiz2, -pi2<=theta<=pi2
Estamos em um curso de Cálculo de várias variáveis e vamos precisar da fórmula do comprimento de curva em coordenadas polares:
L=integraltheta1^theta2raizr(theta)^2+l(r'(theta)r)^2,dtheta

Passo 2

Primeiro calculo a derivada de r em relação a theta:
r(theta)=e^2thetaraiz2
r'(theta)=2e^2thetaraiz2
Agora monto o integrando:
r^2+(r')^2=e^4theta2+4e^4theta2=5e^4theta2
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raizr^2+(r')^2=e^2thetaraiz52

Passo 3

Substituo na integral e calculo:
L=integral-pi2^pi2e^2thetaraiz52,dtheta =raiz52integral-pi2^pi2e^2theta,dtheta
Fazendo a integral de e^2theta:
integral e^2theta,dtheta=e^2theta2,
e avalio de -tfracpi2 a tfracpi2:
L=raiz52cdot12l(e^2cdotpi2-e^2cdot(-pi2)r) =raiz5/22l(e^pi-e^-pir)
Simplificando o fator fora:
raiz5/22=raiz104

Resposta

L=raiz104l(e^pi-e^-pir)

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