Calcule o limite lim x 3 x-3raizx+6-raiz9

Passo 1

Resumo do enunciado: calcular
limxto 3x-3raizx+6-raiz9
Matéria envolvida: limites de funções com indeterminação do tipo 0/0 e técnica de racionalização de expressão com raiz.
O que vamos precisar:
  • Verificar substituição direta e identificar a indeterminação.
  • Racionalizar o denominador (multiplicar por conjugado).
  • Simplificar e usar a propriedade de limite de funções contínuas.

Passo 2

Tentar substituir x=3 direto:
3-3raiz3+6-raiz9 =03-3=00,
que é uma forma indeterminada 0/0. Isso significa que não dá pra concluir o valor do limite simplesmente plugando x=3. Precisamos usar alguma técnica de “destravar” essa indeterminação.

Passo 3

Vamos racionalizar o denominador. A ideia é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado de raizx+6-raiz9, que é raizx+6+raiz9. Assim:
x-3raizx+6-raiz9 ;times; raizx+6+raiz9raizx+6+raiz9 = (x-3)l(raizx+6+raiz9r)l(raizx+6r)^2-(raiz9)^2
No denominador usamos a identidade a^2-b^2=(a-b)(a+b).

Passo 4

Agora calculamos cada parte:
  • l(raizx+6r)^2=x+6
  • (raiz9)^2=9
    Então o denominador vira x+6-9 = x-3. Logo:
(x-3)l(raizx+6+3r)x-3
Como xneq 3 (ainda estamos analisando perto de 3, mas sem igualar), podemos cancelar o fator x-3:
(x-3)l(raizx+6+3r)x-3 =raizx+6+3
Agora sim podemos tomar o limite sem medo de indeterminação, porque raizx+6+3 é contínua em x=3.

Passo 5

Substituindo x=3 em raizx+6+3:
raiz3+6+3 = raiz9+3 = 3+3 = 6

Resposta

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