Calcule o comprimento exato da curva polar
r=2(1+\cos (\theta)), \quad 0 \leq \theta \leq 2 \pi

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de uma curva dada em coordenadas polares por
r = 2\bigl(1+\cos(\theta)\bigr),\quad 0\le\theta\le2\pi.
O conteúdo necessário é a fórmula do comprimento em coordenadas polares:
L = \int_{0}^{2\pi}\sqrt{r(\theta)^2 + \bigl(r'(\theta)\bigr)^2}\,d\theta.

Passo 2

Calculamos a derivada de r em relação a \theta. Como
r(\theta) = 2\bigl(1+\cos\theta\bigr),
então
r'(\theta) = 2\bigl(-\sin\theta\bigr) = -2\sin\theta.

Passo 3

Substituímos r e r' na fórmula do comprimento:
L = \int_{0}^{2\pi}\sqrt{\bigl[2(1+\cos\theta)\bigr]^2 + (-2\sin\theta)^2}\,d\theta.

Passo 4

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
\bigl[2(1+\cos\theta)\bigr]^2 + (2\sin\theta)^2 =4(1+2\cos\theta+\cos^2\theta)+4\sin^2\theta =4\bigl(1+2\cos\theta+\cos^2\theta+\sin^2\theta\bigr) =4\bigl(2+2\cos\theta\bigr) =8(1+\cos\theta).
Como 1+\cos\theta=2\cos^2(\tfrac\theta2), segue
r^2+(r')^2 =16\cos^2\!\bigl(\tfrac\theta2\bigr),
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\sqrt{r^2+(r')^2} =4\bigl|\cos(\tfrac\theta2)\bigr|.

Passo 5

O comprimento fica
L = \int_{0}^{2\pi}4\bigl|\cos(\tfrac\theta2)\bigr|\,d\theta.
Fazendo a substituição u=\tfrac\theta2 (logo d\theta=2\,du) e notando que quando \theta vai de 0 a 2\pi, u vai de 0 a \pi, obtemos
L = 4\int_{0}^{2\pi}\bigl|\cos(\tfrac\theta2)\bigr|\,d\theta =4\cdot2\int_{0}^{\pi}|\cos u|\,du =8\int_{0}^{\pi}|\cos u|\,du.
Sabendo que \displaystyle\int_{0}^{\pi}|\cos u|\,du=2, conclui-se:

Passo 6

L = 8 \times 2 = 16.

Resposta

O comprimento exato da curva é 16.

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