É verdadeiro ou falso?
Se
e
é convergente, então
é convergente.
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se, dado que
e que a série alternada
converge, podemos concluir que a série dos termos positivos
também converge. O conteúdo que vamos usar inclui o Teorema de Leibniz (critério de convergência de séries alternadas) e a distinção entre convergência condicional e absoluta.
Passo 2
Pelo Teorema de Leibniz, se
converge com
, então
-
é decrescente (ou se torna decrescente a partir de algum ), -
.
Porém essas condições garantem apenas que a série seja convergente de forma condicional; não há garantia de convergência absoluta. Convergência absoluta exigiria que
converges, mas o Teorema de Leibniz não dá essa garantia.
Passo 3
Para ver que a conclusão é falsa, basta um contraexemplo clássico:
Defina
Defina
Então a série alternada
é a série harmônica alternada, que converge (por Leibniz). Porém a série dos termos positivos
é a série harmônica, bem conhecida por divergir (por exemplo, comparando com a integral de
ou pelo teste da série harmônica).
Resposta
Falso.