É verdadeiro ou falso?
Se b_{n}>0 e \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} b_{n} é convergente, então \sum_{n=1}^{+\infty} b_{n} é convergente.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dado que b_{n}>0 e que a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_{n}
converge, podemos concluir que a série dos termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}
também converge. O conteúdo que vamos usar inclui o Teorema de Leibniz (critério de convergência de séries alternadas) e a distinção entre convergência condicional e absoluta.

Passo 2

Pelo Teorema de Leibniz, se
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_{n}
converge com b_{n}>0, então
  1. \{b_{n}\} é decrescente (ou se torna decrescente a partir de algum N),
  2. \lim_{n\to\infty}b_{n}=0.
    Porém essas condições garantem apenas que a série seja convergente de forma condicional; não há garantia de convergência absoluta. Convergência absoluta exigiria que
\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}
converges, mas o Teorema de Leibniz não dá essa garantia.

Passo 3

Para ver que a conclusão é falsa, basta um contraexemplo clássico:
Defina
b_{n} = \frac{1}{n}.
Então a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}
é a série harmônica alternada, que converge (por Leibniz). Porém a série dos termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é a série harmônica, bem conhecida por divergir (por exemplo, comparando com a integral de 1/x ou pelo teste da série harmônica).

Resposta

Falso.

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