Questão-2: Determine o valor de \int_{1}^{4}\left(\frac{32}{x^{3}}+\frac{3}{5} x^{2}-\frac{1}{x+4}\right) d x
a. 66-\ln \left(\frac{8}{5}\right)
b. 86+\ln \left(\frac{1}{5}\right)
c. 36+\ln \left(\frac{3}{8}\right)
d. 66-\ln \left(\frac{3}{5}\right)
e. 66+\ln \left(\frac{3}{5}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{1}^{4}\Bigl(\frac{32}{x^{3}}+\frac{3}{5}x^{2}-\frac{1}{x+4}\Bigr)\,dx.
O conteúdo envolvido é a integração de potências de x e de uma função do tipo 1/(x+4).

Passo 2

Integramos o termo \frac{32}{x^{3}}=32x^{-3}.
Uma primitiva é
\int 32x^{-3}dx =32\cdot\frac{x^{-2}}{-2} =-16x^{-2}.

Passo 3

Integramos o termo \tfrac{3}{5}x^{2}.
Uma primitiva é
\int \frac{3}{5}x^{2}dx =\frac{3}{5}\cdot\frac{x^{3}}{3} =\frac{x^{3}}{5}.

Passo 4

Integramos o termo -\frac{1}{x+4}.
Uma primitiva é
\int -\frac{1}{x+4}dx =-\ln\bigl|x+4\bigr|.

Passo 5

Montando a primitiva completa:
F(x)=-16x^{-2}+\frac{x^{3}}{5}-\ln|x+4|.
Calculando de 1 a 4:
F(4)-F(1) =\Bigl(-1+ \tfrac{64}{5}-\ln 8\Bigr) -\Bigl(-16+\tfrac{1}{5}-\ln5\Bigr) =27{,}6+\ln\!\bigl(\tfrac{5}{8}\bigr) =\frac{138}{5}-\ln\!\bigl(\tfrac{8}{5}\bigr).

Passo 6

Nenhuma das alternativas apresentadas coincide com \displaystyle \frac{138}{5}-\ln\!\bigl(\tfrac{8}{5}\bigr).

Resposta

\frac{138}{5}-\ln\!\Bigl(\frac{8}{5}\Bigr)
Nenhuma das alternativas dadas está correta.

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