Questão-4: Determine a integral \int \frac{3}{\sqrt[3]{4 x-5}} d x
a. \frac{9}{8} \sqrt[3]{(4 x-5)^{2}}+k, k real
b. \frac{9}{8} \frac{1}{\sqrt[3]{(4 x-5)^{2}}}+k, k real
c. \frac{9}{8} \sqrt{4 x-5}+k, k real
d. \frac{9}{4} \frac{1}{\sqrt{4 x-5}}+k, k real
e. \frac{9}{8} \sqrt{3 x+5}+k, k real

Passo 1

O enunciado pede
\int \frac{3}{\sqrt[3]{4x-5}}\,dx
Ou seja, integrar a função 3(4x-5)^{-\tfrac{1}{3}}. Vamos usar substituição simples para isolar a parte interna 4x-5 e depois aplicar a regra de potência para integrais.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 4x - 5
da qual obtemos
du = 4\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{4}.
Substituindo em \int 3(4x-5)^{-\tfrac{1}{3}}\,dx, fica

Passo 3

\int 3\,u^{-\tfrac{1}{3}}\cdot\frac{du}{4} = \frac{3}{4}\,\int u^{-\tfrac{1}{3}}\,du.
Agora aplicamos a regra de potência \int u^n du = \tfrac{u^{n+1}}{n+1}+C com n=-\tfrac{1}{3}.

Passo 4

Como n+1 = -\tfrac{1}{3}+1 = \tfrac{2}{3}, temos
\int u^{-\tfrac{1}{3}}\,du = \frac{u^{\tfrac{2}{3}}}{\tfrac{2}{3}} + C = \frac{3}{2}\,u^{\tfrac{2}{3}} + C.
Multiplicando pelo \tfrac{3}{4} externo dá
\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{2}\,u^{\tfrac{2}{3}} = \frac{9}{8}\,u^{\tfrac{2}{3}} + C.

Passo 5

Voltando à variável x com u=4x-5, o resultado é
\int \frac{3}{\sqrt[3]{4x-5}}\,dx = \frac{9}{8}\,(4x-5)^{\tfrac{2}{3}} + k.
Isso coincide com a alternativa (a).

Resposta

(a) \frac{9}{8}\sqrt[3]{(4x-5)^{2}}+k

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