Suponha
e contínua em
, com
, e considere a região
Usando o método das cascas cilíndricas pode-se mostrar que o volume
do sólido obtido pela rotação da regição
, em torno do eixo
, é dado por
Utilize tal fórmula para calcular o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, das seguintes regiões:
.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um problema de cálculo de volume usando o método das cascas cilíndricas. A gente vai calcular o volume do sólido formado quando a região
gira ao redor do eixo
. Pra isso, vamos usar a fórmula:
Onde:
Passo 2
Primeiro, vamos substituir os valores na fórmula do volume:
Agora, precisamos calcular essa integral para encontrar o volume.
Passo 3
Para resolver a integral
, vamos usar a integração por partes, que é útil quando a integral é o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
Vamos escolher:
Substituindo na fórmula:
Sabemos que
, então:
Agora, avaliamos essa antiderivada de 0 a 2:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
Portanto, o volume
do sólido é: