Suponha f(x) >= 0 e contínua em [a, b], com a>0, e considere a região
A=(x, y) in R^2 ; a <= x <= b, 0 <= y <= f(x)
Usando o método das cascas cilíndricas pode-se mostrar que o volume V do sólido obtido pela rotação da regição A, em torno do eixo y, é dado por
V=2 pi integrala^b x f(x) d x
Utilize tal fórmula para calcular o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, das seguintes regiões:
A=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= 2,0 <= y <= cosh x.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um problema de cálculo de volume usando o método das cascas cilíndricas. A gente vai calcular o volume do sólido formado quando a região A = (x, y) in R^2 ; 0 <= x <= 2, 0 <= y <= cosh x gira ao redor do eixo y . Pra isso, vamos usar a fórmula:
V = 2 pi integrala^b x f(x) , dx
Onde:
  • f(x) = cosh x
  • a = 0
  • b = 2

Passo 2

Primeiro, vamos substituir os valores na fórmula do volume:
V = 2 pi integral0^2 x cosh x , dx
Agora, precisamos calcular essa integral para encontrar o volume.

Passo 3

Para resolver a integral integral x cosh x , dx , vamos usar a integração por partes, que é útil quando a integral é o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
  • u = x Rightarrow du = dx
  • dv = cosh x , dx Rightarrow v = sinh x
Substituindo na fórmula:
integral x cosh x , dx = x sinh x - integral sinh x , dx
Sabemos que integral sinh x , dx = cosh x , então:
integral x cosh x , dx = x sinh x - cosh x + C
Agora, avaliamos essa antiderivada de 0 a 2:
[ x sinh x - cosh x ]0^2 = (2 sinh 2 - cosh 2) - (0 cdot sinh 0 - cosh 0)
Sabemos que sinh 0 = 0 e cosh 0 = 1 , então:
= 2 sinh 2 - cosh 2 - (0 - 1) = 2 sinh 2 - cosh 2 + 1

Resposta

Portanto, o volume V do sólido é:
V = 2 pi ( 2 sinh 2 - cosh 2 + 1 )

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