Calcule os limites seguintes:
lim x 2 |x^2-4|x-2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto 2lvert x^2-4rvertx-2
O conteúdo aqui envolve limites com valor absoluto. Vamos usar fatoração e analisar os limites laterais para x to 2.

Passo 2

Fatoramos o numerador usando diferença de quadrados:
x^2-4=(x-2)(x+2)
Logo,
lvert x^2-4rvertx-2 =lvert (x-2)(x+2)rvertx-2 =lvert x+2rvert;lvert x-2rvertx-2

Passo 3

Para escrever de forma piecewise, note que
lvert x-2rvertx-2= +1,&x>2, -1,&x<2
Assim,
lvert x^2-4rvertx-2 = +(x+2),&x>2, -(x+2),&x<2

Passo 4

Calculamos os limites laterais:
limxto2^+lvert x^2-4rvertx-2 =limxto2^+(x+2)=4,
limxto2^-lvert x^2-4rvertx-2 =limxto2^--(x+2)=-4

Passo 5

Os limites laterais são diferentes ( 4neq -4 ), logo o limite bilateral não existe.

Resposta

O limite limxto2lvert x^2-4rvertx-2 não existe, pois
limxto2^-=-4 e limxto2^+=4.

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