\vec{r}\,'(t) é a derivada de \vec{r} em relação a t, isto é, o vetor velocidade — ele indica a direção e a velocidade instantânea da trajetória.
\bigl\lVert \vec{r}\,'(t)\bigr\rVert é a norma euclidiana (comprimento) desse vetor velocidade, dada por \sqrt{(x')^2+(y')^2+(z')^2}.
A integral soma (no sentido do limite) os pequenos segmentos de comprimento \bigl\lVert \vec{r}\,'(t)\bigr\rVert\,dt ao longo do parâmetro, obtendo o comprimento total da curva.
Passo 3
Calcular a derivada \vec{r}\,'(t) componente a componente. Usando as derivadas básicas:
Comentário rápido de interpretação (útil para a prova): para uma hélice genérica \vec{r}(t)=(a\cos t,a\sin t,b t) o comprimento em um período 0\le t\le 2\pi é 2\pi\sqrt{a^2+b^2}. No nosso caso a=2 e b=1, então por período L_{2\pi}=2\pi\sqrt{4+1}=2\pi\sqrt{5}; como estamos indo de 0 a 4\pi (duas voltas), obtemos 2\cdot 2\pi\sqrt{5}=4\pi\sqrt{5}. Vai tranquilo — essa é uma forma rápida de checar o resultado.