Calcule o comprimento da hélice parametrizada por \vec{r}(t)=(2 \cos (t), 2 \operatorname{sen}(t), t), 0 \leq t \leq 4 \pi. R: 4 \pi \sqrt{5}

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
\vec{r}(t)=\bigl(2\cos(t),\;2\operatorname{sen}(t),\;t\bigr),\qquad 0\le t\le 4\pi,
e pede explicitamente o comprimento da hélice correspondente no intervalo dado.
Informações relevantes:
  • A função vetor \vec{r}(t) tem três coordenadas: a coordenada x(t)=2\cos(t), a coordenada y(t)=2\operatorname{sen}(t) e a coordenada z(t)=t.
  • O parâmetro t varia de 0 até 4\pi.
  • Quer-se o comprimento total da curva entre t=0 e t=4\pi.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (e por que ela vale). Para uma curva parametrizada por \vec{r}(t) com t em [a,b], o comprimento L é dado por
L=\int_a^b \bigl\lVert \vec{r}\,'(t)\bigr\rVert\,dt.
Explicando cada termo:
  • \vec{r}\,'(t) é a derivada de \vec{r} em relação a t, isto é, o vetor velocidade — ele indica a direção e a velocidade instantânea da trajetória.
  • \bigl\lVert \vec{r}\,'(t)\bigr\rVert é a norma euclidiana (comprimento) desse vetor velocidade, dada por \sqrt{(x')^2+(y')^2+(z')^2}.
  • A integral soma (no sentido do limite) os pequenos segmentos de comprimento \bigl\lVert \vec{r}\,'(t)\bigr\rVert\,dt ao longo do parâmetro, obtendo o comprimento total da curva.

Passo 3

Calcular a derivada \vec{r}\,'(t) componente a componente. Usando as derivadas básicas:
  • \dfrac{d}{dt}\cos(t)=-\sin(t),
  • \dfrac{d}{dt}\operatorname{sen}(t)=\cos(t),
  • \dfrac{d}{dt}t=1.
Portanto
\vec{r}\,'(t)=\bigl(-2\sin(t),\;2\cos(t),\;1\bigr).

Passo 4

Calcular a norma \bigl\lVert \vec{r}\,'(t)\bigr\rVert. Aplicando a definição da norma:
\bigl\lVert \vec{r}\,'(t)\bigr\rVert =\sqrt{(-2\sin(t))^2+(2\cos(t))^2+1^2} =\sqrt{4\sin^2(t)+4\cos^2(t)+1}.
Usando a identidade trigonométrica \sin^2(t)+\cos^2(t)=1, obtemos
\bigl\lVert \vec{r}\,'(t)\bigr\rVert=\sqrt{4\cdot 1+1}=\sqrt{5}.
Observação importante: a norma é constante (não depende de t), o que simplifica muito a integral do comprimento.

Passo 5

Calcular o comprimento usando a fórmula da Passo 2. Substituindo a norma constante na integral sobre [0,4\pi]:
L=\int_{0}^{4\pi}\bigl\lVert \vec{r}\,'(t)\bigr\rVert\,dt =\int_{0}^{4\pi}\sqrt{5}\,dt =\sqrt{5}\int_{0}^{4\pi}dt =\sqrt{5}\,(4\pi-0) =4\pi\sqrt{5}.

Passo 6

Comentário rápido de interpretação (útil para a prova): para uma hélice genérica \vec{r}(t)=(a\cos t,a\sin t,b t) o comprimento em um período 0\le t\le 2\pi é 2\pi\sqrt{a^2+b^2}. No nosso caso a=2 e b=1, então por período L_{2\pi}=2\pi\sqrt{4+1}=2\pi\sqrt{5}; como estamos indo de 0 a 4\pi (duas voltas), obtemos 2\cdot 2\pi\sqrt{5}=4\pi\sqrt{5}. Vai tranquilo — essa é uma forma rápida de checar o resultado.

Resposta

4\pi\sqrt{5}

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